catalan

卡特蘭數

卡塔蘭數組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列。以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭(1814–1894)命名。歷史上,清代數學家明安圖(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔蘭數”,遠遠早於卡塔蘭。有中國學者建議將此數命名為“明安圖數”或“明安圖-卡塔蘭數”。卡塔蘭數的一般公式為 C(2n,n)/(n+1)。

性質


令h(0)=1,h(1)=1,卡塔蘭數滿足遞歸式:
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),這是n階遞推關係;
還可以化簡為1階遞推關係: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1
該遞推關係的解為: h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...)
卡塔蘭數列的前幾項為(sequence A 0 0 0 1 0 8 in OEIS) [註: n = 0, 1, 2, 3, … n]
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

應用


加括弧問題

矩陣連乘: P=a0×a1×a2×a3×……×an,共有(n+1)項,依據乘法結合律,不改變其順序,只用括弧表示成對的乘積,試問有幾種括弧化的方案?(h(n)種)

出棧次序問題

該題曾為NOIP 2003 普及組複賽第三題。
一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
類似題目:有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票,另外n人只有10元鈔票,劇院無其它鈔票,問有多少中方法使得只要有10元的人買票,售票處就有5元的鈔票找零?(將持5元者到達視作將5元入棧,持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
變型:
盛況空前的足球賽即將舉行。球賽門票售票處排起了球迷購票長龍。按售票處的規定,每位購票者限購一張門票,每張票售價 50 元。在排成長龍的球迷中有 5 個人手持面額50 元的錢幣,另有 5 個人手持 100 元面額的錢幣。現在售票處初始狀態下沒有零錢,那麼,這 10 個人一共有___________種排隊方式,可使得售票處不出現找不出錢的尷尬局面。(注意每個人都是不同的)
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形如這樣的直角三角形網格,從左上角開始,只能向右走和向下走,問總共有多少種走法?
問題的由來:編號為 1 到 n 的 n 個元素,順序的進入一個棧,則可能的出棧序列有多少種?
對問題的轉化與思考:n 個元素進棧和出棧,總共要經歷 n 次進棧和 n 次出棧。這就相當於對這 2n 步操作進行排列。
一個模型:一個 n*n 的正方形網格,從左上角頂點到右下角頂點,只能向右走和向下走。問共有多少種走法。如果將向右走對應上述問題的出棧,向下走對應上述問題的進棧,那麼,可 以視此模型為對上述問題的具體描述。而解決此問題,只要在總共從左上角到右下角的2n步中,選定向右走的步數,即共有C(n 2n)種走法。
但是存在一個問題,如果走法越過了對角線,那麼對應到上述問題是出棧數比入棧數多,這是不符合實際的。
對以上模型進行處理,對角線將以上正方形網格分成兩部分,只留下包含對角線在內的下半部分,那麼就不會出現越過對角線的問題。而這問題就是開始提出的問題。
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問題等價於:n個1和n個0組成一2n位的2進位數,要求從左到右掃描,1的累計數不小於0的累計數,試求滿足這條件的數有多少?
解答:設P2n為這樣所得的數的個數。在2n位上填入n個1的方案數為 C(n 2n)
不填1的其餘n位自動填以數0。從C(n 2n)中減去不符合要求的方案數即為所求。
不合要求的數指的是從左而右掃描,出現0的累計數超過1的累計數的數。
不合要求的數的特徵是從左而右掃描時,必然在某一奇數2m+1位上首先出現m+1個0的累計數,和m個1的累計數。
此 后的2(n-m)-1位上有n-m個1,n-m-1個0。如若把後面這部分2(n-m)-1位,0與1交換,使之成為n-m個0,n-m-1個1,結果得 1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數,即一個不合要求的數對應於一個由n-1個1和n+1個0組成的一個排列。
反過來,任何一個 由n+1個0,n-1個1組成的2n位數,由於0的個數多2個,2n是偶數,故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面的部分,令0 和1互換,使之成為由n個0和n個1組成的2n位數。即n+1個0和n-1個1組成的2n位數,必對應於一個不合要求的數。
用上述方法建立了由n+1個0和n-1個1組成的2n位數,與由n個0和n個1組成的2n位數中從左向右掃描出現0的累計數超過1的累計數的數一一對應。
例如 10100101
是由4個0和4個1組成的8位2進位數。但從左而右掃描在第5位(顯示為紅色)出現0的累計數3超過1的累計數2,它對應於由3個1,5個0組成的10100010。
反過來 10100010
對應於 10100101
因而不合要求的2n位數與n+1個0,n-1個1組成的排列一一對應,故有
P2n = C(n 2n)— C(n+1 2n)
這個結果是一個“卡塔蘭數”Catalan

凸多邊形劃分為三角形問題

對一個凸n+2邊形用n-1條內部不交叉的對角線分成n個三角形區域的方法數為卡特蘭數。
類似題目
一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果他
從不穿越(但可以碰到)從家到辦公室的對角線,那麼有多少條可能的道路?
類似題目:在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?

二叉搜索樹數量

給定一個整數n,恰由n個節點組成且節點值從1到n互不相同的二叉搜索樹的種數為卡特蘭數。

代碼實現


Python

C