容斥原理

如果被計數的事物有A、B、C三類，那麼，A類和B類和C類元素個數總和= A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數—既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+既是A類又是B類而且是C類的元素個數。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。

例如：一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，並且有4人語、數都是滿分，那麼這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？

分析：依題意，被計數的事物有語、數得滿分兩類，“數學得滿分”稱為“A類元素”，“語文得滿分”稱為“B類元素”，“語、數都是滿分”稱為“既是A類又是B類的元素”，“至少有一門得滿分的同學”稱為“A類和B類元素個數”的總和。為15+12-4=23。

也可表示為

設S為有限集, ,則

由於

所以

兩個集合的容斥關係公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分）

三個集合的容斥關係公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|

詳細推理如下：

1、等式右邊改造 = {[（A+B - A∩B）+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C

2、維恩圖分塊標記如右圖圖：1245構成A，2356構成B，4567構成C

3、等式右邊（）里指的是下圖的1+2+3+4+5+6六部分：

那麼A∪B∪C還缺部分7。

4、等式右邊[]號里+C（4+5+6+7）后，相當於A∪B∪C多加了4+5+6三部分，

減去B∩C（即5+6兩部分）后，還多加了部分4。

5、等式右邊{}里減去C∩A （即4+5兩部分）后，A∪B∪C又多減了部分5，

則加上A∩B∩C（即5）剛好是A∪B∪C。

對於容斥原理我們可以利用數學歸納法證明：

證明：當 時，等式成立(證明略)。

假設 時結論成立，則當 時，

所以當 時，結論仍成立。因此對任意，均可使所證等式成立。

例1（小學奧數題）

某校六⑴班有學生45人，每人在暑假裡都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人？

分析：參加足球隊的人數25人為A類元素，參加排球隊人數22人為B類元素，參加游泳隊的人數24人為C類元素，既是A類又是B類的為足球排球都參加的12人，既是B類又C類的為足球游泳都參加的9人，既是C類又是A類的為排球游泳都參加的8人，三項都參加的是A類B類C類的總和設為X。注意：這個題說的每人都參加了體育訓練隊，所以這個班的總人數即為A類B類和C類的總和。

答案：25+22+24-12-9-8+X=45 ，解得X=3

例2（高中題）

在1到1000的自然數中，能被3或5整除的數共有多少個？不能被3或5整除的數共有多少個？

分析：顯然，這是一個重複計數問題（當然，如果不怕麻煩你可以分別去數3的倍數，5的倍數）。我們可以把“能被3或5整除的數”分別看成A類元素和B類元素，能“同時被3或5整除的數（15的倍數）”就是被重複計算的數，即“既是A類又是B類的元素”。求的是“A類或B類元素個數”。我們還不能直接計算，必須先求出所需條件。1000÷3=333……1，能被3整除的數有333個（想一想，這是為什麼？）同理，可以求出其他的條件。

例3（高中題）

分母是1001的最簡分數一共有多少個？

分析：這一題實際上就是找分子中不能與1001進行約分的數。由於1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的數。

解答：1~1001中，有7的倍數1001/7 = 143 （個)；有11的倍數1001/11 = 91 （個），有13的倍數1001/13 = 77 （個）；有7*11=77;77是11的倍數1001/77 = 13 （個），有7*13=91;91是13的倍數；1001/91 = 11 （個），有11*13=143;143是13的倍數1001/143 = 7 （個）.有1001的倍數1個。

由容斥原理知：在1~1001中，能被7或11或13整除的數有（143+91+77）-（13+11+7）+1=281（個），從而不能被7、11或13整除的數有1001-281=720（個）.也就是說，分母為1001的最簡分數有720個。

例4（小學奧數題）

某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投擲三個項目的測試后，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優秀，其餘每人至少有一項達到了優秀，達到了優秀的這部分學生情況如下表：

求這個班的學生共有多少人？

分析：這個班的學生數，應包括達到優秀和沒有達到優秀的。

4+17+18+15-6-6-5+2=39（人）

例5（小學奧數題）

在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？

分析：

很顯然，要計算木棍被鋸成多少段，只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎上加1就是段數了。

若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重複的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢？想一想，被計數的事物有那幾類？每一類的元素個數是多少？

解答

解一：[10，12，15]=60，設木棍60厘米

60÷10=6厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4(厘米

10等分的為第一種刻度線，共10－1=9(條)

12等分的為第二種刻度線，共12－1=11(條)

15等分的為第三種刻度線，過15－1=14(條)

第一種與第二種刻度線重合的[6，5]=30，60÷30－1=2－1=1(條)

第一種與第三種刻度線重合的[6，4]=12，60÷12－1=5－1=4(條)

第二種與第三種刻度線重合的[5，4]=20，60÷20－1=3－1=2(條)

三種刻度線重合的沒有，[6、5、4]=60

徠因此，共有刻度線9+11+14－1－4－2=27條，木棍總共被鋸成27+1=28段。

解二：總長看成單位1分別分成10、12、15段。1/10與1/12的最小公倍數1/2，1/10與1/15的最小公倍數1/5，1/12與1/15的最小公倍數1/3，1/10，1/12和1/15的最小公倍數為1，有10+12+15-（2+5+3）+1=28

解三：

10、12、15的最小公倍數是60，假設木棍就是長60，

1、那麼，分成10等份的每份6，刻度就是

0，6，12，18，24，30，36，42，48，54，60

2、分成12等分的每份就是5，

0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60

3、分成15等分的每份就是4，

0，4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60

4、把相同刻度的合併，就是有刻度如下：

0，4，5，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，28，30，32，35，36，40，42，44，45，48，50，52，54，55，56，60