數軸

數軸

直線是由無數個點組成的集合,實數包括正實數、零、負實數也有無數個。正因為它們的這個共性,所以用直線上無數個點來表示實數。這時就用一條規定了原點、正方向和單位長度的直線來表示實數。規定右邊為正方向時,在這條直線上的兩個數,右邊上點表示的數總大於左邊上點表示的數,正數大於零,零大於負數。

概念


在數學中,可以用一條直線上的點表示數,這條直線 叫做數軸(number line),它滿足以下要求:
(1)在直線上任取一個點表示0這個點叫做原點(origin);
(2)通常規定直線上從原點向右(或上)為正方向,從原點向左(或下)為負方向;
(3)選取適當的長度為單位長度,直線上從原點向右,每隔一個單位長度取一個點,依次表示1(向右1個單位長度),2(向右2個單位長度),3(向右3個單位長度),…;從原點向左,用類似方法依次表示-1(向左1個單位長度),-2(向左2個單位長度),-3(向左3個單位長度)…
在數軸上,除了數0要用原點表示外,要表示任何一個不為0的有理數,根據這個數的正負號確定它所在數軸的哪一邊(通常正數在原點的右邊,負數在原點的左邊),再在相應的方向上確定它與原點相距幾個單位長度,然後畫上相應的點。

作用


1、數軸能形象地表示數,橫向數軸上的點和實數成一一對應,即每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示.
2、比較實數大小,以0為中心,右邊的數比左邊的數大。
3、虛數也可以用垂直於橫向數軸且同一原點的縱向數軸表示,這樣就與橫向數軸構成了複數平面。
4、用兩根互相垂直且有同一原點的數軸可以構成平面直角坐標系;用三根互相垂直且有同一原點的數軸可以構成空間直角坐標系,以確定物體的位置。
數軸具有數的完備性,不僅能夠表示有理數和無理數(合稱實數),還能夠表示虛數,同時還可以建立坐標系,構成了一個比較嚴密的數的系統

幾何意義


數軸是一種特定幾何圖形;原點、正方向、單位長度稱數軸的三要素,這三者缺一不可。
1)從原點出發,朝正方向的射線(正半軸)上的點對應正數,相反方向的射線(負半軸)上的點對應負數,原點對應零。
2)在數軸上表示的兩個數,正方向的數總比另一邊的數大。
3)正數都大於0,負數都小於0,正數大於一切負數。
註:單位長度則是指取適當的長度作為單位長度,比如可以取2m作為單位長度“1”,那麼4m就表示2個單位長度。長度單位則是指米,厘米,毫米等表示長度的單位。
二者不容混淆。
數軸上的點和數是一一對應的。(任何一個數,包括虛數,都可以用數軸上的一個點來表示。)
數軸的正方向一般向右,但也不排除向左的可能,而且越靠近正方向的數越大,相反離正方向越遠的數越小。
畫數軸時一般要先畫橫線和正方向,其次畫零,再根據題意畫單位長度。

用法


數學上,數軸是個一維的圖,整數作為特殊的點均勻地分佈在一條線上。數軸是一條規定了原點、方向和單位長度的直線。其中,原點、方向和單位長度稱為數軸的三要素。它通常被用來幫助教授簡單的加法或減法(特別是運算中有負數的時候)。
大多數情況下,數軸被表示為水平的(當然這不是必須的)。它被原點0分為對稱的兩個部分。通常正數在0的右邊,負數在0的左邊。全體實數和數軸上的點一一對應。

相關概念


相反數
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數,其中的一個數叫做另一個數的相反數。
(a≠0)a的相反數是-a,0的相反數是0。
絕對值
在數軸上表示一個數的點離原點的距離就叫做這個數的絕對值
一個正數的絕對值是它本身,一個負數的絕對值是它的相反數。0的絕對值是0。
公式|a|=?
若a大於0,則a的絕對值還等於a;
若a等於0 ,則a的絕對值等於0 ;
若a小於0,則a的絕對值等於a的相反數。
性質:絕對值有非負性
有理數比較大小:
一切正數大於0,0大於一切負數,正數大於一切負數。
說明:數軸上右邊的數總比左邊的數大,兩個負數相比較,絕對值大的反而小。

計算時間


數軸,用數軸上的一段表示全球的經線,這條線段的兩個端點表示180°經線,線段的中點表示0°經線,這樣,全球所有地點的經度位置都可以表示在這條線段上。箭頭方向代表地球自轉方向,因此,從0°經線向東至180°經線是東經,最右邊的時區是東十二區,時間最早;從0°經線向西至180°經線是西經,最左邊的時區是西十二區,時間最遲,東、西十二區剛好相差24小時。在這條數軸上,越往右邊,時間越早,其數值越大,這與數學上數軸的含義是一致的。因此,如果已知圖1中乙地的時間,要求甲地的時間,甲地在乙地的右邊,用加法,即甲地時間等於乙地時間加上甲、乙兩地的時差;反之,要求乙地的時間,乙地在甲地的左邊,用減法,可以記成“右加左減”,同時,由於數軸的方向代表地球自西向東的自轉方向,從這個意義上來說,也可記成“東加西減”。這樣,將加減法的選擇和時間早晚與數軸的數學含義結合起來,就不易出錯了。此外,用這條線段的兩個端點來表示18和規範化工0°經線,可以避免跨越日界線,從而使計算簡化。