投射模

投射模是比自由模更一般的模，它是內射模的對偶概念，設P是左A模，若有左A模Q使P⊕Q同構於自由A模，則P稱為投射A模。這等價於：函子HomA(P,-)是正合的；也等價於：對每個滿同態f:M→N，及每個同態γ:P→N，一定有同態r:P→M，使得f°r=γ成立。對右A模有類似的定義與性質，任意左A模M必是某一左A投射模的商模；環A作為A模當然是投射模，自由模一定是投射模，投射模一定是平坦模，反之都不一定成立，當環A是主理想整環時，每個投射模都是自由模。塞爾(Serre,J.P.)於1955年曾提出一個著名的猜測(塞爾猜測)：域F上的多項式環F[x₁,x₂,…,xₑ]上的每個有限生成的投射模是否是自由模？奎倫(Quillen,D.G.)和蘇斯林(Суслин,М.Я.)幾乎同時於1976年用不同方法給以解決(他們得出更強的結果，即只要限制F為主理想整環即可)，另外，交換諾特局部環上每個有限生成的投射模也是自由的，這個結果首先由卡普蘭斯基(Kaplansky,I.)於1958年得到，投射模在模論、同調代數、代數K理論中有重要應用。