比例規

比例規又叫 扇形圓規，是伽利略在1597年左右發明的。這個儀器是由一個框和一頭邊接在框上並能開合的兩腳尺共同構成，每把尺上都有刻度(從框軸開始，以框軸為零點)。

根據相似三角形原理所製做的一種等分線段、按一定比例放大或縮小線段的工具。

比例規的主要作用是按一定的比迅速地放大和縮小已知它由長度相等的兩腳AD和BC構成(圖2)，兩腳的兩端都是尖的，兩腳中間都有一條縱溝，溝內裝有一個螺絲釘O，螺絲釘放鬆時，它可以在溝內滑動，螺絲釘轉緊時，它可以固定在溝的任何地方，螺絲釘的位置固定在點O后，兩腳可以繞O轉動，在縱溝的旁邊刻有數字，這個數字錶示 或 的值。

如果要縮小線段 成為，先把螺絲釘O固定在兩條縱溝邊都刻有“3”字的位置，然後把兩腳分開，使尖端A，B分別落在線段 兩個端點。這時∠AOB和∠DOC因對頂角而相等，即等腰三角形OAB和ODC的頂角相等，易知

從而有

即比例規的C，D兩個尖端所決定的線段是按定比3縮小 的線段。這時，把比例規倒轉過來，在線段 上，從一端起連續截取等於CD的線段，這樣就可把線段 三等分。

如果要放大線段 為 那麼仍舊把螺絲釘固定在兩條縱溝邊都刻有3字的位置上，然後把兩腳分開，使尖端C，D分別落在線段 的兩個端點，根據前面同樣的理由，比例規的A，B兩個端點所決定的線段是按定比3放大 的線段。

利用比例規放大和縮小線段時，原線段和它的放大線段或縮小線段的長度還須用有刻度的直尺來量，並且這些錢段的長度必須在比例規兩腳尖端所能指的範圍以內。

比例規的原理很簡單，僅利用相似三角形的性質(即相似三角形的對應線段成比例)，可以解決許多問題。例如：

(1)分已知線段為五個相等的部分；

(2)變更繪圖的比例；

(3)在繪圖中，從圖裡的已知量 求第四比例量(即求x，使得 )；

(4)如果以數的平方在一個腳尺上作刻度，便可以求數的平方與平方根；

(5)如以數的立方在一個腳尺上作刻度，便可以求數的立方與立方根；

(6)利用特製的比例規，還可以根據算好的刻度測出單位圓的特定度數的弧所對應的弦長；反之，根據弦長求角度，即作為量角器用。

比例規既是幾何作圖的工具，又可以用於實際測量和繪圖。它在17世紀的歐洲很流行，並被人們通用了200多年。問世不久，就傳人了中國。1630年羅雅谷在中國寫了《比例規解》一書，介紹比例規的用法。此後中國數學家的書中就常有關於比例規的論述。我國故宮博物院內還藏有各種質料和不同類型的比例規幾十具。