餘數

餘數指整數除法中被除數未被除盡部分，且餘數的取值範圍為0到除數之間（不包括除數）的整數。例如：27除以6，商數為4，餘數為3。

一個數除以另一個數，要是比另一個數小的話，商為0，餘數就是它自己。例如：1除以2，商數為0，餘數為1；2除以3，商數為0，餘數為2。

在整數的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時，就產生餘數，所以餘數問題在小學數學中非常重要。

取餘數運算：

表示 整數a除以整數b所得餘數為c。

餘數的計算公式：

其中，⌊ ⌋為向下取整運算符，向下取整運算稱為Floor，用數學符號⌊ ⌋表示

例：

如

餘數有如下一些重要性質（a，b，c均為自然數）：

（1）餘數和除數的差的絕對值要小於除數的絕對值（適用於實數域）；

（2）被除數=除數×商+餘數；

除數=（被除數-餘數）÷商；

商=（被除數-餘數）÷除數；

餘數=被除數-除數×商。

（3）如果a，b除以c的餘數相同，那麼a與b的差能被c整除。例如，17與11除以3的餘數都是2，所以17-11能被3整除。

（4）a與b的和除以c的餘數（a、b兩數除以c在沒有餘數的情況下除外），等於a，b分別除以c的餘數之和（或這個和除以c的餘數）。例如，23，16除以5的餘數分別是3和1，所以（23+16）除以5的餘數等於。注意：當餘數之和大於除數時，所求餘數等於餘數之和再除以c的餘數。例如，23，19除以5的餘數分別是3和4，所以（23+19）除以5的餘數等於（3+4）除以5的餘數。

（5）a與b的乘積除以c的餘數，等於a，b分別除以c的餘數之積（或這個積除以c的餘數）。例如，23，16除以5的餘數分別是3和1，所以（23×16）除以5的餘數等於。注意：當餘數之積大於除數時，所求餘數等於餘數之積再除以c的餘數。例如，23，19除以5的餘數分別是3和4，所以（23×19）除以5的餘數等於（3×4）除以5的餘數。

性質（4）（5）都可以推廣到多個自然數的情形。

例1：5120除以一個兩位數得到的餘數是64，求這個兩位數。

分析與解：

由性質（2）知，除數×商=被除數-餘數。

，5056應是除數的整數倍。將5056分解質因數，得到5056=64×79。

由性質（1）知，除數應大於64，再由除數是兩位數，得到除數在67～99之間，

符合題意的5056的約數只有79，所以這個兩位數是79。

例2：被除數、除數、商與餘數之和是2143，已知商是33，餘數是52，求被除數和除數。

解：因為被除數=除數×商+餘數=除數×33+52，

被除數=2143-除數-商-餘數=2143-除數-33-52=2058-除數，

所以 除數×33+52=2058-除數，所以 除數=（2058-52）÷34=59，

被除數=2058-59=1999。

答：被除數是1999，除數是59。

例3：甲、乙兩數的和是1088，甲數除以乙數商11餘32，求甲、乙兩數。

解：因為 甲=乙×11+32，

所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

所以 乙=（1088-32）÷12=88，

甲=1088-乙=1000。

答：甲數是1000，乙數是88。

例4：有一個整數，用它去除70，110，160得到的三個餘數之和是50。求這個數。

分析與解：先由題目條件，求出這個數的大致範圍。因為50÷3=16……2，所以三個餘數中至少有一個大於16，推知除數大於16。由三個餘數之和是50知，除數不應大於70，所以除數在17～70之間。

由題意知（70+110+160）-50=290應能被這個數整除。將290分解質因數，得到290=2×5×29，290在17～70之間的約數有29和58。

因為，所以58不合題意。所求整數是29。

例5：求478×296×351除以17的餘數。

分析與解：先求出乘積再求餘數，計算量較大。根據性質（5），可先分別計算出各因數除以17的餘數，再求餘數之積除以17的餘數。

478，296，351除以17的餘數分別為2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。所求餘數是1。

例6：甲、乙兩個代表團乘車去參觀，每輛車可乘36人。兩代表團坐滿若干輛車后，甲代表團餘下的11人與乙代表團餘下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完，甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個膠捲可拍36張照片，那麼拍完最後一張照片后，相機里的膠捲還可拍幾張照片？

分析與解：甲代表團坐滿若干輛車后餘11人，說明甲代表團的人數（簡稱甲數）除以36餘11；兩代表團餘下的人正好坐滿一輛車，說明乙代表團余（人），即乙代表團的人數（簡稱乙數）除以36餘25；甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片，共要拍“甲數×乙數”張照片，因為每個膠捲拍36張，所以最後一個膠捲拍的張數，等於“甲數×乙數”除以36的餘數。

因為甲數除以36餘11，乙數除以36餘25，所以“甲數×乙數”除以36的餘數等於11×25除以36的餘數。

，

即最後一個膠捲拍了23張，還可拍（張）。

由例6看出，將實際問題轉化為我們熟悉的數學問題，有助於我們思考解題。

例7：5397被一個質數除，所得餘數是15.求這個質數.

解：這個質數能整除

，

而 5382=2×31997×13×23.

因為除數要比餘數15大，除數又是質數，所以它只能是23.

當被除數較大時，求餘數的一個簡便方法是從被除數中逐次去掉除數的整數倍，從而得到餘數。

例8：求 645763除以7的餘數。

解：可以先去掉 7的倍數630000餘15763，再去掉14000還餘下 1763，再去掉1400餘下363，再去掉350餘13，最後得出餘數是6.這個過程可簡單地記成

645763→15763→1763→363→13→6.

如果演算能力強，上面過程可以更簡單地寫成：

645763→15000→1000→6.

帶余除法可以得出下面很有用的結論：

如果兩個數被同一個除數除餘數相同，那麼這兩個數之差就能被那個除數整除。

例9：有一個大於 1的整數，它除967，1000，2001得到相同的餘數，那麼這個整數是多少？

解：由上面的結論，所求整數應能整除 967，1000，2001的兩兩之差，即

，

，

.

這個整數是這三個差的公約數11.

請注意，我們不必求出三個差，只要求出其中兩個就夠了。因為另一個差總可以由這兩個差得到。

例如，求出差1000-967與2001-1000，

那麼差

從帶余除式，還可以得出下面結論：

甲、乙兩數，如果被同一除數來除，得到兩個餘數，那麼甲、乙兩數之和被這個除數除，它的餘數就是兩個餘數之和被這個除數除所得的餘數。

例如，57被13除餘5，152被13除餘9，那麼57+152=209被13除，餘數是5+9=14被 13除的餘數1.

例10：有一串數排成一行，其中第一個數是15，第二個數是40，從第三個數起，每個數恰好是前面兩個數的和，問這串數中，第1998個數被3除的餘數是多少？

解：我們可以按照題目的條件把這串數寫出來，再看每一個數被3除的餘數有什麼規律，但這樣做太麻煩。根據上面說到的結論，可以採取下面的做法，從第三個數起，把前兩個數被3除所得的餘數相加，然後除以3，就得到這個數被3除的餘數，這樣就很容易算出前十個數被3除的餘數，列表如下：

從表中可以看出，第九、第十兩數被3除的餘數與第一、第二兩個數被3除的餘數相同。因此這一串數被3除的餘數，每八個循環一次，因為

，

所以，第1998個數被3除的餘數，應與第六個數被3除的餘數一樣，也就是2.

一些有規律的數，常常會循環地出現。我們的計算方法，就是循環制。計算鐘點是

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12

這十二個數構成一個循環。

按照七天一輪計算天數是

日，一，二，三，四，五，六。這也是一個循環，相當於一些連續自然數被7除的餘數

0， 1， 2， 3， 4， 5， 6的循環，用循環制計算時間：鐘錶、星期、月、四季，說明人們很早就發現循環現象。用數來反映循環現象也是很自然的事。

循環現象，我們還稱作具有“周期性”，12個數的循環，就說周期是12，7個數的循環，就說周期是7.例 10中餘數的周期是8。研究數的循環，發現周期性和確定周期，是很有趣的事。

下面我們再舉出兩個餘數出現循環現象的例子。在講述例題之前，再講一個從帶余除式得出的結論：

甲、乙兩數被同一除數來除，得到兩個餘數。那麼甲、乙兩數的積被這個除數除，它的餘數就是兩個餘數的積，被這個除數除所得的餘數.

例如，37被11除餘4，27被11除餘5，37×27=999被 11除的餘數是 4×5=20被 11 除后的餘數 9。

1997=7×285+2，就知道1997×1997被7除的餘數是2×2=4.

例 11：191997被7除余幾？

解：從上面的結論知道，191997被7除的餘數與21997被7除的餘數相同。我們只要考慮一些2的連乘，被7除的餘數.

先寫出一列數

然後逐個用7去除，列一張表，看看有什麼規律。列表如下：

事實上，只要用前一個數被7除的餘數，乘以2，再被7除，就可以得到后一個數被7除的餘數.（為什麼？請想一想.）

從表中可以看出，第四個數與第一個數的餘數相同，都是2.根據上面對餘數的計算，就知道，第五個數與第二個數餘數相同，……因此，餘數是每隔3個數循環一輪。循環的周期是3。

就知道21997被7除的餘數，與21997 被 7除的餘數相同，這個餘數是4。

再看一個稍複雜的例子。

例12：70個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的三倍都恰好等於它兩邊兩個數的和。這一行最左邊的幾個數是這樣的：

0，1，3，8，21，55，…

問：最右邊一個數（第70個數）被6除余幾？

解：首先要注意到，從第三個數起，每一個數都恰好等於前一個數的3倍減去再前一個數：

3=1×3-0，

8=3×3-1，

21=8×3-3，

55=21×3-8，

……

不過，真的要一個一個地算下去，然後逐個被6去除，那就太麻煩了。能否從前面的餘數，算出後面的餘數呢？能！同算出這一行數的辦法一樣（為什麼？），從第三個數起，餘數的計算辦法如下：

將前一個數的餘數乘3，減去再前一個數的餘數，然後被6除，所得餘數即是

用這個辦法，可以逐個算出餘數，列表如下：

注意，在算第八個數的餘數時，要出現0×3-1這在小學數學範圍不允許，因為我們求被6除的餘數，所以我們可以 0×3加6再來減 1

從表中可以看出，第十三、第十四個數的餘數，與第一、第二個數的餘數對應相同，就知道餘數的循環周期是 12

因此，第七十個數被6除的餘數，與第十個數的餘數相同，也就是4。

在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：

“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”按照如今的話來說：

一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求這個數。

這樣的問題，也有人稱為“韓信點兵”.它形成了一類問題，也就是初等數論中解同餘式。這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩餘定理”，這是由中國人提出的。許多小學數學的課外讀物都喜歡講這類問題，但是它的一般解法決不是小學生能弄明白的。這裡，我們通過兩個例題，對較小的數，介紹一種通俗解法。

例13：有一個數，除以3餘2，除以4餘1，問這個數除以12餘幾？

解：除以3餘2 的數有：

2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23…

它們除以12的餘數是：

2，5，8，11，2，5，8，11，…

除以4餘1的數有：

1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，…

它們除以12的餘數是：

1， 5， 9， 1， 5， 9，…

一個數除以12的餘數是唯一的。上面兩行餘數中，只有5是共同的，因此這個數除以12的餘數是5

上面解法中，我們逐個列出被3除餘2的整數，又逐個列出被4除餘1的整數，然後逐個考慮被12除的餘數，找出兩者共同的餘數，就是被12除的餘數。這樣的列舉的辦法，在考慮的數不大時，是很有用的，也是同學們最容易接受的。

如果我們把例23的問題改變一下，不求被12除的餘數，而是求這個數。很明顯，滿足條件的數是很多的，它是

5+ 12×整數

整數可以取0，1，2，…，無窮無盡。事實上，我們首先找出5后，注意到12是3與4的最小公倍數，再加上 12的整數倍，就都是滿足條件的數。這樣就是把“除以3餘2，除以4餘1”兩個條件合併成“除以12餘5”一個條件。《孫子算經》提出的問題有三個條件，我們可以先把兩個條件合併成一個。然後再與第三個條件合併，就可找到答案.

例14：一個數除以 3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求符合條件的最小數.

解：先列出除以 3餘2的數：

2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，

再列出除以5餘3的數：

3， 8， 13， 18， 23， 28，….

這兩列數中，首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合併成一個就是

8+15×整數，

列出這一串數是

8， 23， 38，…，

再列出除以7餘2的數

2， 9， 16， 23， 30，…，

就得出符合題目條件的最小數是23.

事實上，我們已把題目中三個條件合併成一個：被105除餘23.

最後再看一個例子.

例15：在100 至200之間，有三個連續的自然數，其中最小的能被3整除，中間的能被5整除，最大的能被7整除，寫出這樣的三個連續自然數.

解：先找出兩個連續自然數，第一個能被3整除，第二個能被5整除（又是被3除餘1）.例如，找出9和10，下一個連續的自然數是11.

3和5的最小公倍數是15，考慮11加15的整數倍，使加得的數能被7整除.能被7整除，那麼54，55，56這三個連續自然數，依次分別能被3，5，7整除.

為了滿足“在100至200之間”將54，55，56分別加上3，5，7的最小公倍數105.所求三數是

159， 160， 161。