分岔

分岔：適用於能比作樹木長出枝條的任何發展或伸出物，也適用於能比作樹榦的主岔的某種分裂的生長物動力學解釋，動力學系統的參量值跨越臨界值（分叉值）所導致穩定定常狀態定性變化的現象。又稱分叉。這術語是19世紀末H.龐加萊研究天體起源時引進的。一團旋轉流體角速度ω有一分叉值ω*，在ω>ω*情況中，液體有一穩定平衡態(形狀)，而在ω<ω*情況中，這個平衡態失去穩定性，液體最終趨於另一穩定平衡態，這一分岔現象可用以解釋天體某種形狀的起源。力學中研究過的最早的分岔例子是18世紀L.歐拉考慮的細壓桿屈曲。如取軸向力大小P 為參量，歐拉臨界力P * 是一分岔值。在PP *情況下，它失去穩定性，細桿有兩個新的穩定平衡態，它最終將趨於其中的一個（向一側彎曲）。

動力學系統的穩定定常狀態除平衡態外，還有周期態即振動，以及略為複雜些的准周期態。參量跨越分岔值（無論由大到小或由小到大）有時引起系統（穩定）平衡態換成（穩定）周期態（或相反由周期態到平衡態），這種分岔20世紀30 年代A.A.安德羅諾夫在分析自激振動中詳細研究過，但在文獻中通常稱為E.霍甫分岔（40年代）。

60年代以後的研究表明，動力學系統的穩定定常態除平衡、周期、准周期各態外，更可能是另一種——混沌態，即確定性系統由於初態敏感性而產生的隨機狀態。因而在一般意義的分岔現象中，系統參量跨越分岔值導致系統中定態的轉化可能是多種多樣的：一種平衡到另一種平衡，振動到混沌，准周期到混沌，混沌到准周期，甚至混沌到另一種混沌，等等。與混沌出現有關的分岔稱為同宿分岔。流體動力學中的湍流是比混沌更為複雜的運動狀態。流體流動中由層流向湍流的轉捩可以用分岔理論得到部分解釋。

以一維繫統為例：

鞍點分岔（saddle-node bifurcation)