拉普拉斯定理

則有：

其中z為任意實數，.

證：設隨機變數ξ^i表示事件A在第i次試驗中發生的次數，則ξ^i服從“”分佈，且有：

直接由列維定理就得此定理。

在上述定理條件下，當n充分大時，η^n落在m₁與m₂之間的概率

註：此定理實際上說明了當n充分大時，二項分佈B(n,p)逼近正態分佈N(np,npq)，這是因為η^n是服從二項分佈B(n,p)的。

例 某批產品的次品率為0.005，試求不多於70件的概率P。

解 設ξ表示在任意抽取的10000件產品中的次品數，則ξ服從二項分佈B(10000,0.005)。此時若直接計算概率

這是較困難的。我們利用近似公式來計算，則

已知,

，故

獨立同分佈的n個隨機變數之和的分佈，當n越來越大時，逐漸接近正態分佈，即徠兩密度曲線越來越接近。我們用指數分佈來試試看