三力平衡匯交定理
三力平衡匯交定理
當物體受到同平面內不平行的三力作用而平衡時,三力的作用線必匯交於一點。即物體在互相不平行的三個力作用下處於平衡狀態時,這三個力必定共面共點,合力為零。
弱定理:剛體受三個互不平行但共面的力作用而平衡時,這三個力的作用線必匯交於一點。
強定理:作用於物體上的三個相互平衡、但又不互相平行的力,若其中兩個力的作用線匯交於一點,則此三力必在同一個平面內,且第三個力的作用線通過前兩個力的匯交點。
若三力在同一平面內但不共點且不平行,則取任意兩個力的交點作為支點,那麼這兩個力不產生力矩而第三個力不經過支點必定產生力矩,整個體系就不平衡了。若經過該點但不共面,同樣會產生該方向的加速度,體系仍不平衡。故三力共面且力的作用線交於同一點。
圖一、二
如圖2所示,在剛體的A、B、C三點上分 別作用三個力F1、F2、F3,使剛體處於平衡。其中F1、F2的作用線匯交於一點 O。根據力的可傳性,將力F1和F2移到匯交點O,然後根據力的平行四邊形法則,求得其合力F12,則F3應與 F12平衡。根據二力平衡公理,力F3與F12共線。所以,力F3必定與力F1和F2共面,且通過力F1和F2的匯交點O。
(1)假設作用在剛體上的不平行的三個力分別為F、F、F。建立以F作用點為原點,作用線為X軸,方 向為X軸正方向的空間直角坐標系。根據力的可傳性,將F、F的作用點沿其力的作用線平移至XOY平面 內,設其坐標分別為:A(xy0);A(xy0)
(2)根據力矩平衡和受力平衡列出方程:
對於Y、Z方向,列相同的力和力矩平衡方程。
(3)解方程組,得:
,F、F和F在XOY平面上,再由二力平衡的條件得出共點。(同直接證明)
,設F、F尾線連線交平面XOY於A(xy0),解得:
故,焦點位於X軸上,所以F、F和F在XOZ平面上,再由二力平衡的條件得出共點。
三力平衡匯交定理,是由共點力平衡原理推導出的重要推論。
三力平衡匯交定理是物理學中常用的解題手段,在工程設計、施工和驗收中也有重要意義。它描述了靜力學中平衡狀態的重要條件,在解題中為我們限定了力的方向,提供了新的方程,簡化了解題過程。