極線

在數學中，極線通常是一個適用於二次曲線的概念。過不在二次曲線上的一點P作直線l交二次曲線於M、N兩點，則在l上有且只有一點Q，使得（即P、Q、M、N構成一調和點列）。當l繞著P旋轉時，Q的軌跡是一條直線p（或一部分），這條直線p叫做點P關於二次曲線的極線(polar)，而P叫做p關於該曲線的極點(pole)。

注意：這個定義中要求P不在曲線C上，若不然，則P與M或N重合。不妨設P與M重合，那麼。而當P在曲線C上時，從下面極線方程的推導結果來看，可知方程形式與過P點的切線方程完全相同，所以規定當P在曲線C上時，它的極線就是過它的切線。

1.射影平面內的任意一點對於固定的二次曲線C，有且只有一條極線。反之，射影平面內的任意一條直線對於固定的二次曲線C，有且只有一個極點。這可以由定義直接推導出來。

2.（配極原則）對於同一條二次曲線C，如果點P的極線經過點Q，那麼點Q的極線經過點P。反之，如果直線p的極點在直線q上，那麼直線q的極點在直線p上。

點關於二次曲線C：的極線方程為

由於點在極線上，得到

將該方程稍作整理，可以得到

即P的坐標滿足Q的極線方程，定理的前半部分得證。

再設p的極點為P，q的極點為Q。根據已知條件，P在q上，即點Q的極線經過點P，那麼點P的極線也經過點Q，即Q在p上，定理後半部分得證。

3.兩點連線的極點是這兩點的極線的交點；兩直線交點的極線是這兩直線的極點的連線。

設有兩點A、B，各自的極線交於C，則根據配極原則，C在A的極線上在C的極線上。同理，B在C的極線上。由兩點確定一條直線可知AB是C的極線，即C是AB的極點。類似可證後者。

從這個性質中可以知道，對於二次曲線上兩個點，過這兩點的切線的交點的極線即這兩點的連線。所以有時候也利用這個性質來定義曲線外一點P的極線。

4.設四邊形ABCD內接於二次曲線，則對角線交點P的極線是兩組對邊交點的連線。

設兩組對邊AB、CD和AD、BC的交點分別為M、N，連接PM交BC、AD於E、F。由完全四點形的調和性可知，因此E和F都是N關於曲線的調和共軛點，所以直線EF，即直線PM是N關於曲線的極線。

同理，PN是M關於曲線的極線。

由配極原則，點M和N的極線都經過P，所以點P的極線經過M、N，即P的極線是MN，定理得證。我們也可以把這個性質作為在曲線內的點P的極線的定義。 

對於一般的圓錐曲線，我們可以將它的方程寫成矩陣形式

其中表示這是一個列向量，其中A是一個矩陣。那麼對於平面上任意一個點，其對應極線方程即 。而這個同圓錐曲線的切線方程也是一致的。

將二次曲線C放在仿射平面（即一般的歐氏平面加上一條無窮遠直線）中，則無窮遠直線關於C的極點O叫做C的中心，而無窮遠點關於C的極線叫做C的直徑。

由於仿射平面上只有一條無窮遠直線，所以C的中心也只有一個。但無窮遠點有無數個，所以C的直徑也有無數條。根據配極原則，無窮遠點通過中心O的極線（即無窮遠直線），所以O也通過無窮遠點的極線，即直徑必定經過中心O。這也可以作為直徑的定義。

設曲線C的一條直徑AB與無窮遠直線相交於P，則P關於曲線C的極線A'B'叫做AB的共軛直徑。

在反演變換中，如果反演中心為O，P點經過反演變換后得到P'，則過P'垂直PO（O、P、P'共線）的直線稱為P點的極線(polar)，P稱為該直線的極點(pole)。實際上，這個定義同前面圓錐曲線的極線和極點是一致的，只是這裡的圓錐曲線取為這個反演變換的反演圓。