共線向量基本定理

幾何、平面向量基本定理之一

共線向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示為a∥b ，任意一組平行向量都可移到同一直線上，所以稱為共線向量。共線向量基本定理為如果 a≠0，那麼向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實數λ，使得 b=λa。

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1簡介 2推論 3共線向量定理

簡介

如果a≠0，那麼向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實數λ，使得b=λa。

證明：

1）充分性，對於向量 a(a≠0)、b，如果有一個實數λ，使 b=λa，那麼由實數與向量的積的定義知，向量a與b共線。

2）必要性，已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那麼當向量a與b同方向時，令 λ=m，有 b =λa，當向量a與b反方向時，令 λ=-m，有 b=-λa。如果b=，那麼λ=0。

3）唯一性，如果 b=λa=μa，那麼 (λ-μ)a=。但因a≠，所以 λ=μ。

證畢。

推論

推論1

兩個向量a、b共線的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ，使得 λa+μb=。

證明：

1）充分性，不妨設μ≠0，則由 λa+μb=0 得 -b=a。由共線向量基本定理知，向量a與b共線。

2）必要性，已知向量a與b共線，若a≠0，則由共線向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=，實數λ、μ不全為零。若a=，則取μ=0，取λ為任意一個不為零的實數，即有 λa+μb=。

證畢。

推論2

兩個非零向量a、b共線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ，使得 λa+μb=。

證明：

1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=a。由共線向量基本定理知，向量a與b共線。

2）必要性，∵向量a與b共線，且a≠0，則由共線向量基本定理知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0；取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=，實數λ、μ全不為零。

證畢。

推論3

如果a、b是兩個不共線的向量，且存在一對實數λ、μ，使得 λa+μb=，那麼λ=μ=0。

證明：（反證法）

不妨假設μ≠0，則由推論1知，向量a、b共線；這與已知向量a、b不共線矛盾，故假設是錯的，所以λ=μ=0。

證畢。

推論4

如果三點P、A、B不共線，那麼點C在直線AB上的充要條件是：存在唯一實數λ，使得

向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。

證明：

∵三點P、A、B不共線，∴向量AB≠，

由共線向量基本定理得，

點C在直線AB上 <=> 向量AC 與向量AB 共線 <=> 存在唯一實數λ，使向量AC=λ·向量AB

∵三點P、A、B不共線，∴向量PA 與向量PB 不共線，

∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。

證畢。

推論5

如果三點P、A、B不共線，那麼點C在直線AB上的充要條件是：存在唯一一對實數λ、μ，使得

向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）

證明：

在推論4中，令 1-λ=μ ，則λ+μ=1，知：

三點P、A、B不共線 <=> 點C在直線AB上的充要條件是：存在實數λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）

下面證唯一性，若向量PC=m向量PA+n向量PB，則 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，

即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=，

∵三點P、A、B不共線，∴向量PA 與向量PB 不共線，

由推論3知，m=λ，n=μ。

證畢。

推論6

如果三點P、A、B不共線，那麼點C在直線AB上的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ、ν，使得

λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=，λ+μ+ν=0。

證明：

1）充分性，由推論5知，若三點P、A、B不共線，則點C在直線AB上 <=> 存在實數λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。

取ν=-1，則有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=，λ+μ+ν=0，且實數λ、μ、ν不全為零。

2）必要性，不妨設ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=，λ+μ+ν=0，則向量PC=·向量PA+·向量PB，+）=1。由推論5 即知，點C在直線AB上。

證畢。

推論7

點P是直線AB外任意一點，那麼三不同點A、B、C共線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ、ν，使得

λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=，λ+μ+ν=0。

證明：（反證法）

∵點P是直線AB外任意一點，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠，且向量PA、向量PB、向量PC兩兩不共線。

由推論6知，實數λ、μ、ν不全為零，

1）假設實數λ、μ、ν中有兩個為零，不妨設λ≠0，μ=0，ν=0。則 λ向量PA=，∴向量PA=。這與向量PA≠。

2）假設實數λ、μ、ν中有一個為零，不妨設λ≠0，μ≠0，ν=0。則 λ向量PA+μ向量PB=，∴向量PA=·向量PB，∴向量PA 與向量PB共線，這與向量PA 與向量PB不共線矛盾。

證畢。

共線向量定理

定理1

ABC中，點D在直線BC上的充要條件是

共線向量基本定理

共線向量基本定理

其中

都是其對應向量的數量。

證明：有推論5即可證得。

定理2

ABC中，點D在直線BC上的充要條件是

其中都是有向面積。通常約定，頂點按逆時針方向排列的三角形面積為正，頂點按順時針方向排列的三角形面積為負。

證明：由定理1即可得證。

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