伽瑪函數

伽瑪函數（Gamma Function）作為階乘的延拓，是定義在複數範圍內的亞純函數，通常寫成。

（1）在實數域上伽瑪函數定義為：

（2）在複數域上伽瑪函數定義為：

其中，此定義可以用解析開拓原理拓展到整個複數域上，非正整數除外。

（3）除了以上定義之外，伽馬函數公式還有另外一個寫法：

我們都知道 是一個常用積分結果，公式（3）可以用 來驗證。

（4）伽馬函數還可以定義為無窮乘積：

不完全gamma函數

詳見不完全伽馬函數

1728年，哥德巴赫在考慮數列插值的問題，通俗的說就是把數列的通項公式定義從整數集合延拓到實數集合，例如數列1,4,9,16.....可以用通項公式n²自然的表達，即便 n 為實數的時候，這個通項公式也是良好定義的。直觀的說也就是可以找到一條平滑的曲線y=x²通過所有的整數點(n,n²),從而可以把定義在整數集上的公式延拓到實數集合。一天哥德巴赫開始處理階乘序列1,2,6,24,120,720,...,我們可以計算2!,3!,是否可以計算2.5!呢？我們把最初的一些(n,n!)的點畫在坐標軸上，確實可以看到，容易畫出一條通過這些點的平滑曲線。

但是哥德巴赫無法解決階乘往實數集上延拓的這個問題，於是寫信請教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼爾·伯努利，由於歐拉當時和丹尼爾·伯努利在一塊，他也因此得知了這個問題。而歐拉於1729 年完美地解決了這個問題，由此導致了伽瑪 函數的誕生，當時歐拉只有22歲。

1、通過分部積分的方法，可以推導出這個函數有如下的遞歸性質：

Γ(x+1)=xΓ(x)

於是很容易證明，伽馬函數可以當成是階乘在實數集上的延拓，對於正整數n，具有如下性質：

2、與貝塔函數的關係：

3、在概率的研究中有一個重要的分佈叫做 伽瑪分佈：

其中。

4、對，有

這個公式稱為 余元公式。

由此可以推出以下重要的概率公式：

5、對於，伽馬函數是嚴格凹函數。

6、伽馬函數是亞純函數，在複平面上，除了零和負整數點以外，它全部解析，而伽馬函數在 處的留數為

Gamma 函數從它誕生開始就被許多數學家進行研究，包括高斯、勒讓德、魏爾斯特拉斯、劉維爾等等。這個函數在現代數學分析中被深入研究，在概率論中也是無處不在，很多統計分佈都和這個函數相關。Gamma 函數作為階乘的推廣，首先它也有和 Stirling 公式類似的一個結論：即當x取的數越大，Gamma 函數就越趨向於 Stirling 公式，所以當x足夠大時，可以用Stirling 公式來計算Gamma 函數值。

伽瑪函數的對數的導數稱為Digamma函數，記為

Digamma函數同調和級數相關，其中

其中

是歐拉常數。

而對於任意x有

在複數範圍內，Digamma函數可以寫成

而Digamma函數的泰勒展開式為

其中函數 為黎曼zeta函數，是關於黎曼猜想的一個重要函數。

類似伽瑪函數，Digamma函數可以有漸進式：

在Matlab中的應用

其表示N在N-1到0範圍內的整數階乘。

公式為：gamma(N)=(N-1)*(N-2)*...*2*1

例如：

gamma(6)=5*4*3*2*1

ans=120

對伽馬函數的推導維度如圖所示：