彎曲空間

初等平面幾何所研究的對象是歐幾里得空間（歐氏空間）。

這種幾何的最重要性質之一就是平行線公設：通過給定直線之外的任一點，可作一條直線與給定直線平行。這個公設在彎曲空間中並不適用。

天體物理中常遇到的彎曲空間是黎曼空間。它的一種特例是常黎曼曲率空間。黎曼曲率 K等於常數1、-1和0的空間分別叫作黎曼球空間、羅巴切夫斯基空間和歐氏空間。

所以，歐氏空間可看作黎曼空間的特例。局部黎曼空間可以看作由局部歐氏空間彎曲而來，而大範圍的黎曼空間常常不可能從歐氏空間彎曲得到。

從物理學的角度看，時空的彎曲性質依賴於物質的分佈和運動。愛因斯坦的廣義相對論給出時空與物質之間的關係和它們的運動規律。通常情況下，時空彎曲的量級是很小的。只有在黑洞或其他強引力場情況下，才有大的彎曲。

當你第一次在愛因斯坦的相對論里見到“彎曲空間”這 個字眼時，恐怕是會感到困惑的，真空怎麼能是彎曲的呢？

為了弄明白這是怎麼一回事，先讓我們這樣想象：在一 艘宇宙飛船里，有人在仔細觀察附近的一顆行星。這顆行星 的表面完全被深深的海洋覆蓋著，因此有著象桌球那樣的光 滑表面。再假設有一條船在那個行星的海洋上沿赤道線朝正東方向行駛著。現在再進一步設想一下，這位觀察者根本看不見這顆行星，而只能看到這條船。當他研究這條船的運動路線時，他 會驚訝地發現這條船走的是一條圓弧。它最後會回到自己的 出發點，從而描繪出一個完整的圓周。

如果這條船改變路線，航道就會變得彎彎折折的，不再是個簡單的圓周。但是，不管它怎麼改道，無論它怎麼行進，它的航線總是在一個球面上。根據所有這些事實，這位觀察者可能會推斷出，這條船被束縛在一個看不見的球體的表面上，而束縛它的力正是指 向球體中心的重力。要不，他就可能會認為，這條船被限制 在一塊特殊的空間裡面。這塊空間是彎曲的，而且彎曲成一 個球形，從而迫使這條船走出這樣的路線來。換句話說，我 們必須在一個力和一種空間幾何形態之間作出選擇。你大概會認為這是一種想象出來的局面，但實際上並非 如此。地球這顆行星是沿著橢圓路線繞著太陽運行的，正象一條船在某個看不見的曲面上行駛一樣。至於這條橢圓路線，我們是假設太陽和地球之間有一種引力來解釋的，正是這種引力使地球保持在它的軌道上。

不過，我們也可以從空間幾何形態來考慮問題。我們不是通過觀察空間本身——空間是看不見的——而是通過考察 物體在這種空間里的運動方式，來確定這種空間的幾何形態。如果空間是“平坦的”，各種物體就會走直線從這個空間中 通過，如果空間是“彎曲的”，各種物體就會走出彎曲的路 線來。一個具有確定質量和速度的物體，如果在離開其他質量 都很遠的地方運動，那麼，它的路徑真的可以說是一條直線。而當它走近另一個質量的時候，它的路徑就會變得越來越彎 曲，顯然，是質量把空間彎曲了。質量越大，離質量越近，空間彎曲的曲率就越大。把萬有引力看作是一個力，看來要比用空間幾何形態去 解釋它方便得多，也自然得多。但是，如果在考慮光的行進 時，情形就會顛倒過來。按照比較舊的觀點，光是不受重力 影響的，因為它沒有質量。然而，當光在彎曲空間里穿過時，它的路徑也會彎曲起來。把光的速度考慮進來，它在太陽這 個巨大質量的附近經過時路徑的彎曲就能計算出來了。

1919年，愛因斯坦的這一理論（發表於三年之前）在一次日蝕期間受到了檢驗，人們把太陽位於空間某處時靠近太陽的某些恆星的位置，與太陽不在此處時這些恆星的位 置進行了比較。結果，愛因斯坦的理論站住腳了。用彎曲空 間來討論萬有引力，看來要比用力學術語更為精確。不過，我們還應該提一下，1967年，人們對太陽的 形狀所進行的精密測量，發現愛因斯坦的引力理論出了問題，今後將會發生些什麼情況？還得等著瞧。