級數

級數是指將數列 的項， ，…， ，…依次用加號連接起來的函數，是數項級數的簡稱。如： ，簡寫為，稱為級數的通項，記 稱之為級數的部分和。如果當 時，數列Sn有極限，極限為S，則說級數收斂，並以 為其和，記為；否則就說級數發散。

級數是研究函數的一個重要工具，在理論上和實際應用中都處於重要地位，這是因為：一方面能藉助級數表示許多常用的非初等函數，微分方程的解就常用級數表示；另一方面又可將函數表為級數，從而藉助級數去研究函數，例如用冪級數研究非初等函數，以及進行近似計算等。

正項級數

正項級數代表著收斂性最簡單的情形。在這種情形，級數級數的部分和 sm=u1+u2+…+um隨著m單調增長，等價於級數的一般項un≥0(因此，有時也稱為非負項級數)。於是級數(∑un)收斂等價於部分和(sm)有界。項越小，部分和就越傾向於有界，因而正項級數有比較判別法：。

同樣，每項比前項的比值較小，部分和也就增加較少而較傾向於有界，因此正項級數又有比值判別法。事實上，這都在於斷定un的大小數量級。

交錯級數

正項級數之外，如果一個級數沒有正項，或者只有有限個正項，或者只有有限個負項，則其收斂問題都可以歸結到一個正項級數的收斂問題，所以只需考慮一個級數既有無限個正項又有無限個負項的情形。在這種級數中，結構最簡單的是正負號逐項相間的級數，叫做交錯級數：。對此有萊布尼茨定理：若一交錯級數的項的絕對值單調趨於零，則這級數收斂。

顯然，一個交錯級數在形式上可以看成兩個正項級數之差。

同樣，每一個級數在形式上都可以看成兩個正項級數(即這級數的“正部分”與“負部分”）之差：，不過，這樣分解只有當分解成的級數都收斂的前提下才是有意義的，這就導致人們來考慮一個級數逐項取絕對值后所得到的正項級數是否收斂的問題。

冪級數

一類重要的函數級數是形如∑an(x-x0)^n的級數，稱之為冪級數。它的結構簡單，收斂域是一個以為中心的區間（不一定包括端點），並且在一定範圍內具有類似多項式的性質，在收斂區間內能進行逐項微分和逐項積分等運算。例如冪級數∑(2x)^n/x的收斂區間是[-1/2,1/2]，冪級數∑[(x-21)^n]/(n^2)的收斂區間是[1，3]，而冪級數∑(x^n)/(n!)在實數軸上收斂。

柯西準則

級數的收斂問題是級數理論的基本問題。從級數的收斂概念可知，級數的斂散性是藉助於其部分和數列Sm的斂散性來定義的。因此可從數列收斂的柯西準則得出級數收斂的柯西準則：∑un收斂<=>任意給定正數ε，必有自然數N，當n>N，對一切自然數 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠後的任意一段和的絕對值可任意小。

級數收斂

如果每一un≥0（或un≤0），則稱∑un為正（或負）項級數，正項級數與負項級數統稱為同號級數。正項級數收斂的充要條件是其部分和序列Sm 有上界，例如∑1/n！收斂，因為：Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/2²+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

有無窮多項為正，無窮多項為負的級數稱為變號級數，其中最簡單的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的級數，稱之為交錯級數。判別這類級數收斂的基本方法是萊布尼茲判別法：若un ≥un+1 ，對每一n∈N成立，並且當n→∞時lim un=0，則交錯級數收斂。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收斂。對於一般的變號級數如果有∑|un|收斂，則稱變號級數絕對收斂。如果只有 ∑un收斂，但是∑|un|發散，則稱變號級數條件收斂。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)絕對收斂，而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是條件收斂。

如果級數的每一項依賴於變數x,x 在某區間I內變化，即un=un(x),x∈I，則∑un(x)稱為函數項級數，簡稱函數級數。若x=x0使數項級數∑un(x0)收斂，就稱x0為收斂點，由收斂點組成的集合稱為收斂域，若對每一x∈I，級數∑un(x)都收斂，就稱I為收斂區間。顯然，函數級數在其收斂域內定義了一個函數，稱之為和函數S(x)，即S(x)=∑un(x)如果滿足更強的條件，Sm(x)在收斂域內一致收斂於S(x)。

絕對收斂

簡介

一個收斂的級數，如果在逐項取絕對值之後仍然收斂，就說它是絕對收斂的；否則就說它是條件收斂的。

簡單的比較級數就表明，只要∑|un|收斂就足以保證級數收斂；因而分解式(不僅表明∑|un|的收斂隱含著原級數∑un的收斂，而且把原級數表成了兩個收斂的正項級數之差。由此易見，絕對收斂級數同正項級數一樣，很像有限和，可以任意改變項的順序以求和，可以無限分配地相乘。

但是條件收斂的級數，即收斂而不絕對收斂的級數，決不可以這樣。這時式右邊成為兩個發散(到+∞)的、其項趨於零的、正項級數之差，對此有黎曼定理。

一個條件收斂的級數，在其項經過適當的排列之後，可以收斂到一個事先任意指定的數；也可以發散到+∞或－∞；也可以沒有任何的和。

一致收斂是收斂性與函數連續性結合的最重要的形式。