收斂數列

收斂數列

設數列Xn,如果存在常數a,對於任意給定的正數q(無論多小),總存在正整數N,使得n>N時,恆有|Xn-a|Xn收斂於a(極限為a),即數列Xn為收斂數列(Convergent Sequences)。

數列收斂<=>數列存在唯一極限。

性質


唯一性

思維導圖
思維導圖
如果數列Xn收斂,每個收斂的數列只有一個極限。

有界性

定義:設有數列Xn , 若存在M>0,使得一切自然數n,恆有|Xn|
定理1:如果數列{Xn}收斂,那麼該數列必定有界。推論:無界數列必定發散;數列有界
,不一定收斂;數列發散不一定無界。
數列有界是數列收斂的必要條件,但不是充分條件

保號性


如果數列{Xn}收斂於a,且a>0(或a<0),那麼存在正整數N,當n>N時,都有Xn>0(或Xn<0)。

相互關係


收斂數列與其子數列間的關係
子數列也是收斂數列且極限為a恆有|Xn|
若已知一個子數列發散,或有兩個子數列收斂於不同的極限值,可斷定原數列是發散的。
收斂數列
收斂數列
如果數列{ }收斂於a,那麼它的任一子數列也收斂於a。
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