等價關係

設R是集合A上的一個二元關係，若R滿足：

自反性：∀a∈A,=>(a,a)∈R

對稱性：(a,b)∈R∧a≠b=>(b,a)∈R

傳遞性：(a,b)∈R,(b,c)∈R=>(a,c)∈R

則稱R是定義在A上的一個等價關係。設R是一個等價關係，若(a,b)∈R，則稱a等價於b，記作a~b。

例一：

設A={1,4,7}，定義A上的關係R如下：

R={(a,b)|a,b∈A∧a≡bmod3}

其中a≡bmod 3叫做 a與b模3同餘，即a除以3的餘數與b除以3的餘數相等。不難驗證R為A上的等價關係。

設f是從A到B的一個函數，定義A上的關係R：aRb，當且僅當f(a)=f(b)，R是A上的等價關係。

例二：

設R為定義在集合A上的一個關係，若R是自反的、對稱的和傳遞的，則稱R為等價關係。設R為集合A上的等價關係，對任何a∈A,集合[a]={b|(a,b)∈R}稱為元素a形成的等價類，其等價類集合{[a]|a∈A}，稱作A關於R的商集，記作A/R。定理3.7.1設給定非空集合A上等價關係R，對於a,b∈A,有aRb當且僅當[a]=[b]。定理3.7.2集合A上的等價關係R，確定了A的一個劃分，該劃分就是商集A/R。定理3.7.3集合A的一個劃分，確定A的元素間的一個等價關係。