平方和公式
數學中一個比較常用公式
平方和公式 是一個比較常用公式,用於求連續自然數的平方和(Sum of squares),其和又可稱為四角錐數,或金字塔數(square pyramidal number)也就是正方形數的級數。
此公式是馮哈伯公式(Faulhaber's formula )的一個特例。
利用此公式可求得前n項平方和為:
n | 前n項平方和 | n | 前n項平方和 | n | 前n項平方和 | n | 前n項平方和 | n | 前n項平方和 |
1 | 1 | 6 | 91 | 11 | 506 | 16 | 1496 | 21 | 3311 |
2 | 5 | 7 | 140 | 12 | 650 | 17 | 1785 | 22 | 3795 |
3 | 14 | 8 | 204 | 13 | 819 | 18 | 2109 | 23 | 4324 |
4 | 30 | 9 | 285 | 14 | 1015 | 19 | 2470 | 24 | 4900 |
5 | 55 | 10 | 385 | 15 | 1240 | 20 | 2870 | 25 | 5525 |
n=26,27,28,29......時
前n項平方和和為:6201, 6930, 7714, 8555, 9455,
10416, 11440, 12529, 13685, 14910, 16206, 17575, 19019, 20540, 22140,
23821, 25585, 27434, 29370…… [3]
證法一(歸納猜想法):
1、時,
2、時,
3、設 時,公式成立,即
則當 時,
也滿足公式。
根據數學歸納法,對一切自然數n有 成立。
證法二(利用恆等式):
,
…………
.求和得:
,
由於(可由倒序求和得到),
代入上式得:
整理后得:
證法三():
令
=
=
因為
所以,
證法四(排列組合法):
由於,
因此我們有
=
由於, ,
於是我們有
證法五(拆分,直接推導法):
1=1
2²=1+3
3²=1+3+5
4²=1+3+5+7
...
(n-1)²=1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]
n²=1+3+5+7+...+[2n-1]
求和得:
……(*)
因為前n項平方和與前n-1項平方和差為n²
代入(*)式,得:
此式即