全概率公式

概率論中的重要公式

全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一複雜事件A的概率求解問題轉化為了在不同情況下發生的簡單事件的概率的求和問題。

內容：如果事件B1、B2、B3…Bn 構成一個完備事件組，即它們兩兩互不相容，其和為全集；並且P（Bi)大於0，則對任一事件A有

P(A)=P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)。

或者：p(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABn))，其中A與Bn的關係為交)。

目錄

1定義 2應用舉例

定義

定理

若事件構成一個完備事件組且都有正概率，則對任意一個事件，有如下公式成立：

此公式即為全概率公式。

特別地，對於任意兩隨機事件和，有如下成立：

其中和為對立事件。

應用舉例

我們來看一個簡單的例子：

例：高射炮向敵機發射三發炮彈，每彈擊中與否相互獨立且每發炮彈擊中的概率均為0.3，又知敵機若中一彈，墜毀的概率為0.2，若中兩彈，墜毀的概率為0.6，若中三彈，敵機必墜毀。求敵機墜毀的概率。

解：設事件B=“敵機墜毀”；=“敵機中彈”；i=0,1,2,3

實際上我們從題目知道應該是構成完備事件組，但是敵機墜毀只和有關，即

，則我們可用如下公式：

全概率公式和Bayes公式

概率論的一個重要內容是研究怎樣從一些較簡單事件概率的計算來推算較複雜事件的概率，全概率公式和Bayes公式正好起到了這樣的作用。對一個較複雜的事件A，如果能找到一伴隨A發生的完備事件組而計算各個B的概率與條件概率相對又要容易些，這時為了計算與事件A有關的概率，可能需要使用全概率公式和Bayes公式。

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