映射定理

映射定理是多仿射映射下多項式族的值集性質的重要定理。該定理是研究多仿射映射下多項式族的穩定性的重要工具之一。在泛函分析中，映射定理是一個基本的結果，它說明如果巴拿赫空間之間的連續線性運算元是滿射的，那麼它就是一個開映射。

定理說明

精確地（Rudin1973,定理2.11）:如果X和Y是巴拿赫空間，A:X→Y是一個滿射的連續線性運算元，那麼A就是一個開映射（也就是說，如果U是X內的開集，那麼A（U）在Y內是開放的）。該定理的證明用到了貝爾綱定理，X和Y的完備性都是十分重要的。如果僅僅假設X或Y是賦范空間，那麼定理的結論就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空間，那麼定理的結論仍然成立。

結果

開映射定理有一些重要的結果：

如果A:X→Y是巴拿赫空間X和Y之間的雙射連續線性運算元，那麼逆運算元A:Y→X也是連續的。（Rudin1973,推論2.12）如果A:X→Y是巴拿赫空間X和Y之間的線性運算元，且如果對於X內的每一個序列（xn），只要xn→0且Axn→y就有y=0，那麼A就是連續的（閉圖像定理）。（Rudin1973,定理2.15）

證明

需要證明，如果A :X→Y是巴拿赫空間之間的連續線性滿射，那麼A就是一個開映射。為此，只需證明A把X內的單位球映射到Y的原點的一個鄰域。

設U，V分別為X和Y內的單位球。那麼X是單位球的倍數kU的序列的交集，k∈N，且由於A是滿射，

根據貝爾綱定理，巴拿赫空間Y不能是可數個無處稠密集的並集，故存在k>0，使得A（kU）的閉包具有非空的內部。因此，存在一個開球B（c,r），其中心為c，半徑r>0，包含在A（kU）的閉包內。如果v∈V，那麼c+rv和c位於B（c,r）內，因此是A（kU）的極限點，根據加法的連續性，它們的差rv是A（kU）−A（kU）⊂A（2kU）的極限點。根據A的線性，這意味著任何v∈V都位於A（δU）的閉包內，其中δ=r / （2k）。於是可以推出，對於任何y∈Y和任何ε>0，都存在某個x∈X，滿足：

固定y∈δV。根據（1），存在某個x 1，滿足||x 1||<1且||y−Ax 1||<δ / 2。定義序列{xn}如下。假設：

根據（1），可以選擇xn +1，使得：

因此xn +1滿足（2）。設

從（2）的第一個不等式可知，{sn}是一個柯西序列，且由於X是完備的，sn收斂於某個x∈X。根據（2），序列Asn趨於y，因此根據A的連續性，有Ax=y。而且：

這表明每一個y∈δV都屬於A（2U），或等價地，X內的單位球的像A（U）包含了Y內的開球（δ / 2）V。因此，A（U）是Y內0的鄰域，定理得證。

推廣

X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完備性則是：當X和Y是F空間時，定理仍然成立。更進一步，這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合（Rudin,定理2.11）：

設X為F空間，Y為拓撲向量空間。如果A:X→Y是一個連續線性運算元，那麼要麼A（X）是Y內的貧集，要麼A（X）=Y。在後一個情況中，A是開映射，Y也是F空間。更進一步，在這個情況中，如果N是A的核，那麼A有一個標準分解。

調和

黎曼流形之間的一類十分重要的可微映射。設M和N為黎曼流形，f：M→N為光滑映射，若f的張力場τ（f）恆為零，則稱f為調和映射。由第一變分公式可知：調和映射是能量泛函的臨界點；反之，若f是能量泛函在每一個緊緻區域DM上關於保持邊界D不動的變分的臨界點，則f必是調和映射。另一方面，若將df看做M上取值於誘導叢fTN的1形式，這裡TN是N的切叢，則可以證明：當f為調和映射時，df為調和1形式；且當M為緊緻流形時，其逆亦真。因此，調和映射與非線性調和1形式理論有密切關係。調和映射有許多重要的特例，因而具有廣闊的背景。例如：

1.當N=R時，調和映射就是M上的調和函數.

2.當dimM=1時，調和映射就是N中的測地線.

3.當f為等距浸入時，f是調和映射的充分必要條件為f是極小浸入.

4.克勒流形間的全純映射必為調和映射.

5.具有雙不變黎曼度量的李群間的連續同態必為調和映射.

映射定理

映射定理

定理說明

結果

證明

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調和

基本信息