洛倫茨吸引子

洛倫茨模型不只對非線性數學有重要性，對於氣候和天氣預報來說也有著重要的含義。行星和恆星大氣可能會表現出多種不同的准周期狀態，這些准周期狀態雖然是完全確定的，但卻容易發生突變，看起來似乎是隨機變化的，而模型對此現象有明確的表述。

從技術角度看來，洛倫茨振子具有非線性、三維性和確定性。2001年，沃里克·塔克爾（Warwick Tucker）證明出在一組確定的參數下，系統會表現出混沌行為，顯示出人們今天所知的奇異吸引子。這樣的奇異吸引子是豪斯多夫維數在2與3之間的分形。彼得·格拉斯伯格（Peter Grassberger）已於1983年估算出豪斯多夫維數為2.06±0.01，而關聯維數為2.05±0.01。

此系統也會出現在單模激光和發電機的簡化模型中。除此之外，閉環對流、水輪轉動等物理模型也有此系統的應用。

洛倫茨吸引子是洛倫茨振子（Lorenz oscillator）的長期行為對應的分形結構，以愛德華·諾頓·洛倫茨的姓氏命名。洛倫茨振子是能產生混沌流的三維動力系統，是一種吸引子，以其雙紐線形狀而著稱。映射展示出動力系統（三維繫統的三個變數）的狀態是如何以一種複雜且不重複的模式，隨時間的推移而演變的。

洛倫茨方程是基於納維－斯托克斯方程、熱傳導方程和連續性方程簡化得出，最初的形式為：

——流速，T——流體溫度，——上限溫度，——密度，p——壓強，——重力，——依次為熱膨脹係數、熱擴散率和動黏滯係數。

簡化后的形式稱為洛倫茨方程，是決定洛倫茨振子狀態的方程為一組常微分方程：

含時間參數的形式：

稱為普蘭特爾數，稱為瑞利數。所有的，但通常不定。

下面是GNU Octave模擬洛倫茨吸引子的源代碼：

•混沌映射列表

•Takens定理

•曼德布洛特集合