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下界

數學名詞

存在一個實數a和一個實數集合B，使得對∀x∈B，都有x≥a，則稱a為B的下界（lowerbound）。相反，在數學中，特別是在秩序理論中，在某些部分有序集合（K，≤）的子集S裡面，大於或等於S的每個元素的K的那個元素，叫做上界。而下界被定義為K的元素小於或等於S的每個元素。

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1定義 2舉例 3內容

定義

考慮一個實數集合。如果有一個實數，使得中任何數都大於，那麼就稱是的一個下界。

用數學符號表示為：對，都有，則稱是的下界（lowerbound）。

確界原理：若集合有上界，則必有上確界；若集合有下界，則必有下確界。

上確界定義：設是中的一個數集，若數滿足

（i）對，有，即是的上界；

（ii）對,存在，使得，即是的最小上界（leastupperbound），則稱為數集的上確界；

下確界定義：設是的一個數集，若數滿足：

（i）對，有，即是的下界；

（ii）對，使得，即是的最大下界（greatestlowerbound），則稱為數集的的下確界。

舉例

例如，5是集合{5，8，42，34，13934}的下界。

另一個例子是對於集合{42}，數字42既是上界和下界，所有其他實數都不是該集合的上限或下限。

所有自然數的每個子集都具有下界，因為自然數具有最小元素（0或1，取決於自然數的確切定義）。自然數的無限子集不能從上面界定。整數的無限子集可以從下方界定或從上方界定。有理數字的無限子集可能來自也可能不會從下方界定，也可能不限於上述。

非空的完全有序集的每個有限子集都有上界和下界。

內容

下界的定義可以推廣到函數甚至是一組函數。

給定具有域和部分有序集合（），對於中的每個，如果，中的元素則是函數的下界。

在域定義並且具有相同代碼域（），對於D中的每個x，如果均成立，則函數是的下界。

如果函數是該集合中每個函數的下界，則進一步稱為函數集合的下界。

函數的上界概念類似地定義，只要用“”替換“”即可。

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