布爾方程
布爾方程
布爾方程(Boolean equation)是一類特殊方程，指布爾代數B上含有未知元的等式f(X)=g(X)，其中f(X)與g(X)均為B上之布爾函數。當X=(x₁,x₂,…,xₑ)時，稱此方程為e元布爾方程，而稱x₁,x₂,…,xₑ為未知元。若有a₁,a₂,…,aₑ∈B使之f(a₁,a₂,…,aₑ)=g(a₁,a₂,…,aₑ)，則稱(a1,a2,…,aₑ)為e元布爾方程的一個解。對於具有形狀h(X)=0或h(X)=1的布爾方程，稱為0-1布爾方程，可以證明：形如f(X)=g(X)的布爾方程均可化為等價的0-1布爾方程。解0-1布爾方程的一個可行方法是逐次消元法，對於布爾函數中僅含0與1為其常量的0-1布爾方程有三種解法：即分項求解法、分支解法及卡諾圖解法，求解布爾方程不僅具有理論意義，而且在計算機科學及電路設計中均有重要應用，對於布爾方程x+y=a+b顯然有一解： x=a,y=b 。
設B是一個布爾代數，所謂B上的n元布爾方程是指如下的含有n個待定元的布爾函數f(X)及g(X)所組成的等式
類似的，我們可用
及 分別定義布爾不等方程及(廣義)布爾方程組，其中“ ”既可以是“=”，也可以是“≤”，布爾方程的（特）解是指滿足 的一個向量 ；布爾不等方程及(廣義)布爾方程組的(特)解的定義類似。
定義 若是布爾函數， ，則
及分別稱為（布爾）0方程與（布爾）1方程，它們又合稱為（布爾）方程或布爾方程。
僅含1個特定元的(廣義)布爾方程，簡稱為1元(廣義)布爾方程
由下文定理1知，每一個1元廣義布爾方程都可以寫成如下的0方程
這個0方程必定可寫成如下的標準形
其中a，b為布爾常量。
在每一個方程中都要區分哪些是待定元(未知元)，哪些是係數(已經給定的元)，例如，在1元標準形布爾方程
中，x(及x’)是未知元，而a與b是係數，但是在通常的定理中則沒有此種區別。
每一個形如的廣義布爾方程(的情況)或廣義布爾方程組(的情況)都等價於一個布爾方程。
若B是布爾集；，則下列語句等價：
①
②
③
④1元布爾方程是否有解(即：是否存在一個)使上式成立與係數a與b有關，方程 有解的充要條件是有：
此外，x是1元布爾方程 的解的充要條件是
若，則及
