最小角定理

平面外的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角。

如圖，若AB，AO分別是平面a的垂線和斜線，OB是AO在平面a內的射影，∠AOB為銳角，OC是平面a內和OB不重合的任一直線，在OC上截取OD=OB，連結AD，則AB

在△AOB與△AOD中，因為OA=OA，OB=OD，AB

定理得證。

上述定理是定義“斜線和平面所成的角”這一概念的理論基礎。有了上面的性質，就保證了這一概念的定義的合理性。

最小角定理

例題解析

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【例1】直線AB與直二面角α-a-β的兩個面分別交於A、B兩點，且A、B都不在棱a上，設直線AB與平面α和平面β所成的角分別為θ和φ，求θ+φ的取值範圍。

最小角定理

解：如圖3，作BC⊥a於C，

∵平面α⊥平面β，

∴BC⊥平面α。

∴∠BAC是AB與平面α所成的角。

即∠BAC=θ。

又從BC⊥平面α可知BC⊥AC。

在Rt△BAC中：θ+∠ABC=90°。

由最小角度定理可知:φ≤∠ABC，

∴θ+φ≤90°。

故θ+φ∈(0°，90°]。

參考資料：

1.

《數學辭海》編輯委員會. 數學辭海 第一卷. 中國科學技術出版社. 2002-08.

2.

曹才翰；沈復興，孫瑞清，余炯沛等. 中國中學教學百科全書 數學卷. 瀋陽出版社. 1991-05.

3.

王文傑，閻祝三. 會考 高考成功的捷徑 數學. 第107頁. 1993.04.