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- 一種關於冪的數學運算
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冪運算
一種關於冪的數學運算
冪運算是一種關於冪的數學運算。同底數冪相乘，底數不變，指數相加。同底數冪相除，底數不變，指數相減。冪的乘方，底數不變，指數相乘。
1.同底數冪的乘法
2.冪的乘方與積的乘方
3.同底數冪的除法
掌握正整數冪的運算性質（同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數冪的除法），能用字母式子和文字語言正確地表述這些性質，並能運用它們熟練地進行運算。
1．通過冪的運算到多項式乘法的學習，初步理解“特殊——一般——特殊”的認識規律，發展思維能力。
2．在學習冪的運算性質、乘法法則的過程中，培養觀察、綜合、類比、歸納、抽象、概括等思維能力。
1．同底數冪的乘法：
同底數冪的乘法法則是本章中的第一個冪的運演演算法則，也是整式乘法的主要依據之一。學習這個法則時應注意以下五個問題：
（1）先弄清楚底數、指數、冪這三個基本概念的涵義。
（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一個具體的數或字母，也可以是一個單項式或多項式，
如：，底數就是一個二項式。
（3）指數都是正整數
（4）這個法則可以推廣到三個或三個以上的同底數冪相乘，即(m, n, p都是正整數)。
（5）不要與整式加法相混淆。乘法是只要求底數相同則可用法則計算，即底數不變指數相加，
如:；
而加法法則要求兩個相同；底數相同且指數也必須相同，實際上是冪相同係數相加，
如:，而就不能合併。
例1．計算：(1) (2)
解：(1)分析：①就是，指數為1; ②底數為，不變;
③指數相加1+2+3=6 ④乘方時先定符號“+”，再計算 的6次冪
解：(2)
分析：①與不是同底數冪, 可利用變為同底數冪
②本題也可作如下處理：
例2．計算(1)
解：分析：與不是同底數冪
可利用變為為底的同底數冪，再進行計算。
例3．計算：
解： 分析：①先做乘法再做減法
運算結果指數能合併的要合併
③即為
，④與是同類項，
合併時將係數進行運算底數和指數不變。
2．冪的乘方,積的乘方
(1)冪的乘方，，(m, n都為正整數)運用法則時注意以下以幾點：
①冪的底數a可以是具體的數也可以是多項式。如的底數為，是一個多項式，
②要和同底數冪的乘法法則相區別，不要出現下面的錯誤。如：
(2)積的乘方（n為正整數）運用法則時注意以下幾點：
①注意與前二個法則的區別：積的乘方等於將積的每個因式分別乘方（即轉化成若干個冪的乘方），再把所得的冪相乘。
②積的乘方可推廣到3個以上因式的積的乘方，如：如
例4．計算：①②③④
解：①分析：①先確定是冪的乘方運算
②用法則底數a 不變指數2m和n相乘
②a分析：①底數a不變，指數(m+n)與m相乘
=a
= ②運用乘法分配律進行指數運算。
③分析：①底數有四個因式：
分別3次方
②注意
④分析：①8次冪的底數是ab。
②“-”在括弧的外邊先計算(ab)
再在結果前面加上“-”號。
例5．當ab= ，m=5, n=3, 求(ab)的值。
解：∵(ab)分析：①對(ab)=ab會從右向左進行逆=[(ab)]運算 ab=(ab)
=(ab)②將原式的底數轉化為ab，才可將ab
∴ 當m=5, n=3時，代換成。
∴ 原式=( )( )應將 括起來不能寫成 15。
=( )
例6．若ab=15，求-5ab的值。
解：-5ab分析：ab=(ab)
=-5（ab)應用(abab
=-5(15)
=-1125
例7．如果，求的值。
解：分析：①,
②式子中出現3m+2n可用6=2來代換
3. 同底數冪的除法：
（1）同底數冪的除法：(a≠0, m, n均為正整數，並且m>n)
①同底數冪的除法是整式除法的基礎，要熟練掌握。同底數冪的除法法則是根據除法是乘法的逆運算歸納總結出來的，和前面講的冪的運算的三個法則相比，在這裡底數a是不能為零的，否則除數為零，除法就沒有意義了。又因為在這裡沒有引入負指數和零指數，所以又規定m>n。能從特殊到一般地歸納出同底數冪的除法法則。
②同底數冪的兩個冪相除，如果被除式的指數與除式的指數相等，那麼商等於1，即a÷a=1,m是任意自然數。a≠0, 即轉化成a=1(a≠0)。
③同底數冪的兩個冪相除，如果被除式的指數小於除式的指數，即m-n<0時，指數部分為負整數則轉化成負整數指數冪，再用負整數指數冪法則。
④要注意和其它幾個冪的運演演算法則相區別。
⑤還應強調：a·a=a與a÷a=a的互逆運算關係，同時指數的變化也是互逆運算關係，應溝通兩者的聯繫。
（2）零指數：a=1 (a≠0)
①條件是a≠0，0無意義。
②它是由a÷a=a當a≠0，m=n時轉化而來的。也就是說當同底數冪相除時，被除式指數與除式的指數相等時即轉化成零指數冪，它的結果為1。
（3）負整數指數冪：a= (a≠0, p是正整數）①當a=0時沒有意義，0, 0都無意義。
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