內切圓

幾何學術語

與多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓。特殊地,與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓,圓心叫做三角形的內心,三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內心是三角形三條角平分線的交點。

三角形一定有內切圓,其他的圖形不一定有內切圓,且內切圓圓心定在三角形內部。

定義


在數學中,若一個二維平面上的多邊形的每條邊都能與其內部的一個圓形相切,該圓就是多邊形的內切圓,這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。它亦是多邊形內部最大的圓形。內切圓的圓心被稱為該多邊形的內心。
一個多邊形至多有一個內切圓,也就是說對於一個多邊形,它的內切圓,如果存在的話,是唯一的。並非所有的多邊形都有內切圓。三角形和正多邊形一定有內切圓。擁有內切圓的四邊形被稱為圓外切四邊形。

性質


(1)在三角形中,三個角的角平分線的交點是內切圓的圓心,圓心到三角形各個邊的垂線段相等。
(2)正多邊形必然有內切圓,而且其內切圓的圓心和外接圓的圓心重合,都在正多邊形的中心。
(3)常見輔助線:過圓心作垂直。

計算


1)對於一般的三角形,三角形面積公式如下:
s=r(a+b+c)/2
2)在直角三角形s=r(a+b+c)/2的內切圓中,有這樣兩個簡便公式如下
● 兩直角邊相加的和減去斜邊后除以2,得數是內切圓的半徑:
r=(a+b-c)/2(註:s是Rt△的面積,a, b是Rt△的2個直角邊,c是斜邊)
● 兩直角邊乘積除以直角三角形周長,得數是內切圓的半徑:
r=ab/ (a+b+c)

補充


扇形內切圓
與扇形⌒AOB的圓弧⌒AB及兩條半徑OA,OB都相切的圓叫扇形的內切圓。
內切圓圓心O′在扇形的圓心角AOB的角平分線上
OO′=R-r(R是扇形半徑,r是內切圓半徑)
過O′作O′A⊥OA,垂足A,直角三角形OAO′中
∠O′OA=30°,O′A=r,OO′=R-r
∴r=(R-r)*sin30°,r=1/2(R-r),R=3r
內切圓面積=πr^2
扇形面積是原來圓面積的60/360=1/6
∴扇形面積=πR^2/6=π(3r)^2/6=3πr^2/2
∴扇形的內切圓面積與扇形面積的比為πr^2:(3πr^2/2)=2:3
直角三角形的內切圓的半徑=二分之一×(直角邊+另一直角邊-斜邊)
內切圓的半徑為r=2S÷C,當中S表示三角形的面積,C表示三角形的周長。
內切圓等於外切圓的2分之1
面積與原正方形比為π:4