停時
停時
停時((stopping time)一類隨機時刻，指具有某種與將來無關性質的隨機時刻。給定概率空間(Ω，F，P)及其濾子Ft，映射τ：Ω→T∪∞，如果對任意的t∈I，ω：ω∈Ω，τ(ω)≤t∈Ft，則稱映射τ為一個(Ft)停時。
停止時間是一種特殊的隨機變數，表示一個隨機的時刻。例如，設為停時，那麼這意味著兩方面內容，第一，是隨機的，第二，的取值範圍是為已知，當結果出現時，可表示為也就是說，該隨機變數的結果是一個特定時刻。
所以，我們需要研究一個“隨機日期”，它對於期權定價非常重要，實際上，提前執行的權力為美式期權增加了額外的價值。
我們設為期權的執行日期，很顯然已知信息集，我們就可以知道該期權是否已經被執行，也就是說，已知，我們可以知道哪種情況成立：
該式表示期權已經被執行，或者
該式表示期權尚未被提前執行。
的這種性質可以用來定義停止時間。
定義1停止時間是可測的非負隨機變數，滿足
1)已知，我們可以判斷是否有
2)我們有
對於一般的衍生證券，期限都是有限的，因此期權要麼在一個有限的時刻被執行，要麼過期失效，這意味著第二個等式，即以1概率有限，將恆成立。
下面列出停時的基本性質。
定理 設均為停時，則有
(1)是停時；
(2)是停時；
(3)如果，則；
(4)是可測的。
首次進入某個集合或者首次達到的時刻是一個停時。事實上，設E是一個度量空間，X是關於濾子 適應的、E為狀態空間的隨機過程，對於，定義
則就是一個停時。
在實際操作中，我們應該如何利用停時呢?
最明顯的一個用途是用來代表期權的執行時間，對歐式期權而言，執行時間不含隨機因素，期權只能在到期日被執行，因而我們有
而對於美式期權，一般是隨機的。
其中漂移項和擴散項係數滿足一般的規範性條件。
也就是說，如果持有者必須等到到期日才能執行期權，那麼該期權 t 時刻價值為
而如果他可以提前執行，那麼價值為
其中是所有可能停止機會的集合，是的最優選擇，這裡代表期權持有者可能執行該看漲期權的日期。
因此在 t 時刻，我們可以計算出一系列，包含所有停止時間可能的取值，為了求出正確的價格，我們要求這些的上確界。