調和平均數

總體各統計變數倒數的算術平均數的倒數

調和平均數(harmonic mean)又稱倒數平均數,是總體各統計變數倒數的算術平均數的倒數。調和平均數是平均數的一種。但統計調和平均數,與數學調和平均數不同,它是變數倒數的算術平均數的倒數。由於它是根據變數的倒數計算的,所以又稱倒數平均數。調和平均數也有簡單調和平均數和加權調和平均數兩種。

在數學中調和平均數與算術平均數都是獨立的自成體系的。計算結果前者恆小於等於後者。因而數學調和平均數定義為:數值倒數的平均數的倒數。但統計加權調和平均數則與之不同,它是加權算術平均數的變形,附屬於算術平均數,不能單獨成立體系。且計算結果與加權算術平均數完全相等。主要是用來解決在無法掌握總體單位數(頻數)的情況下,只有每組的變數值和相應的標誌總量,而需要求得平均數的情況下使用的一種數據方法。

分類


簡單調和平均數

簡單調和平均數是算術平均數的變形,它的計算公式如下:

加權調和平均數

加權調和平均數是加權算術平均數的變形。它與加權算術平均數在實質上是相同的,而僅有形式上的區別,即表現為變數對稱的區別、權數對稱的區別和計算位置對稱的區別。因而其計算公式為:
加權調和平均數的應用: 在很多情況下,由於只掌握每組某個標誌的數值總和(M)而缺少總體單位數(f)的資料,不能直接採用加權算術平均數法計算平均數,則應採用加權調和平均數。
例如:某工廠購進材料三批,每批價格及採購金額資料如下表:
價格(元/千克)
(x)
採購金額(元)
(m)
採購數量(千克)
(m/x)
第一批3510000286
第二批4020000500
第三批4515000330
合計--450001116

應用


調和平均數可以用在相同距離但速度不同時,平均速度的計算;如一段路程,前半段時速60公里,後半段時速30公里〔兩段距離相等〕,則其平均速度為兩者的調和平均數時速40公里。
另外,兩個電阻R, R並聯后的等效電阻R:
恰為兩電阻調和平均數的一半。

區別關係


區別

算術平均數和調和平均數是平均指標的兩種表現形式。算術平均數和調和平均數並非兩類獨立的平均數;算術平均數和調和平均數的數值之間並無直接關係,也不存在誰大誰小的問題;不能根據同一資料既計算算術平均數,又計算調和平均數,否則就是純數字遊戲,而非統計研究。

關係

算術平均數、調和平均數、幾何平均數是三種不同形式的平均數,分別有各自的應用條件。進行統計研究時,適宜採用算術平均數時就不能用調和平均數或幾何平均數,適宜用調和平均數時,同樣也不能採用其他兩種平均數。但從數量關係來考慮,如果用同一資料(變數各值不相等)。
計算以上三種平均數的結果是:算術平均數大於幾何平均數,而幾何平均數又大於調和平均數。當所有的變數值都相等時,則這三種平均數就相等。它們的關係可用不等式表示:

特點


調和平均數具有以下幾個主要特點:
①調和平均數易受極端值的影響,且受極小值的影響比受極大值的影響更大。
②只要有一個標誌值為0,就不能計算調和平均數。
③當組距數列有開口組時,其組中值即使按相鄰組距計算,假定性也很大,這時的調和平均數的代表性很不可靠。
④調和平均數應用的範圍較小。在實際中,往往由於缺乏總體單位數的資料而不能直接計算算術平均數,這時需用調和平均法來求得平均數。

注意事項


(1)當變數數列有一變數X的值為零時,調和平均數公式的分母將等於無窮大,因而無法求出確定的平均值。
(2)調和平均數和算術平均數一樣,易受兩極端值影響。上端值越大,平均數向上偏離集中趨勢就越大。反之,下端值越大,平均數向下偏離集中趨勢越大。
(3)要注意區分調和平均數和算術平均數的使用條件,因事制宜。