正則公理

正則公理是集合論的ZF公理系統中的一條公理。它的表述為：“對任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y為空集。”

利用正則公理可以證明不存在下列形式的集合：

1、x∈x：如果這樣的集合x存在，那麼{x}只有x一個元素，但{x}∩x={x}非空，不合於正則公理。

2、所有集合組成的集合：如果這個集合存在，那麼根據第一條必然不是自身的元素，但是與定義矛盾。

3、無限序列{xn}使xi+1∈xi，i∈N：反設f(i)=xi，i∈N，而S為f的值域（根據替換公理模式可以構造這個集合），那麼S中不可能存在和S不相交的元素了，因為S中的元素都可寫成f(i)的形式，但f(i+1)∈f(i)，而f(i+1)也是S的元素，f(i+1)∈f(i)∪S。矛盾。

第3條定理和選擇公理合起來可以反推正則公理。反設存在不滿足正則公理的S，對S的非空子集組成的集合使用選擇公理，得到選擇函數g，定義{xn}：x0=g(S)，xi+1=g(xi∩S)，i∈N，則因為每次選出的都是S的元素從而和S有交集，選擇總是成立，從而這個無限序列存在；又滿足xi+1∈xi，與前提矛盾。

注意正則公理並沒有否定羅素悖論，因為如果通過其他公理能夠構造出該悖論中的集合，那麼仍然是矛盾。實際上不用正則公理，羅素已經替我們證明了這個集合是不存在的。