開爾文定理

在流體力學中，沿封閉曲線的速度環量定義為線積分：

， (1)

式中Γ 為速度環量；v為速度矢量；dr為封閉曲線L的線段元矢量。速度環量和渦通量（見渦旋）通過下列斯托克斯公式聯繫起來：

， (2)

式中S是張在封閉曲線L上的曲面；Ω和dS分別為渦旋矢量和面積元矢量。由開爾文定理可推出反映渦旋保持性的渦旋不生不滅定理：假設流體是無粘性和正壓的，且外力有勢，若初始時刻在某部分流體內無旋，則在此時刻以前或以後的任一時刻中，這部分流體皆無旋。反之，若初始時刻該部分流體有旋，則在以前或以後的任一時刻，這一部分流體皆有旋。因為若初始時刻某區域內的流體運動無旋，則根據斯托克斯公式（2）,該區域內沿任一封閉曲線的速度環量為零。設過一時刻此區域內的流體運動到一新區域，從開爾文定理易見，在新區域內沿任一可能的封閉曲線的速度環量也為零。換言之，線積分與積分路徑無關，它只是時間t以及變動點B的坐標r和固定點A的坐標r0的標量函數，可記為：

(3)

故v＝墷Ф,即存在速度勢Ф(r,t)。由墷×v＝墷×(墷Ф)＝，推出整個流動是無旋的。

對於在重力場作用下的無粘性不可壓縮均質流體，考察均勻來流定常繞流和從靜止起動的流體運動。顯然，兩種情形都滿足流體無粘性、正壓和外力有勢三個條件。流場中任一流體質點都來自無窮遠處或初始的靜止流體。因無窮遠處均勻來流和靜止流體都是無旋的，根據渦旋的不生不滅可以看出，整個流場都是無旋的。由此得到開爾文定理的一個重要推論：對於在工程實際中大量遇到的無粘性不可壓縮均質流體在重力作用下的均勻來流定常繞流問題和靜止起動問題，整個流體運動時時處處都是無旋的。由於無旋運動有些特殊性質，處理這類流動可作許多數學上的簡化（見拉普拉斯無旋運動）。