矢量運算

矢量的乘法，矢量和標量的乘積仍為矢量。矢量和矢量的乘積，可以構成新的標量，矢量間這樣的乘積叫標積；也可構成新的矢量，矢量間這樣的乘積叫矢積。例如，物理學中，功、功率等的計算是採用兩個矢量的標積。W=F·S，P=F·v，物理學中，力矩、洛侖茲力等的計算是採用兩個矢量的矢積。M=r×F，F=qv×B。

3D engine中用到的矢量運算詳細內容：

一、兩點距離

2D系統：

Point1（x1，y1），Point2（x2，y2）

距離D=sqr（（x1-x2）*（x1-x2） + （y1-y2）*（y1-y2））

3D系統：

Point 1 （x1， y1， z1） Point 2 at （x2， y2， z2）.

xd = x2-x1

yd = y2-y1

zd = z2-z1

距離Distance = SquareRoot（xd*xd + yd*yd + zd*zd）

做遊戲和demo永遠不要去做開方：

1、用LUT查表技術Look up Table

2、在做碰撞檢測時，誤差Distance*Distance

二規格化，單位化（Normalize）

先要說矢量的長度：

矢量Vector（x，y，z）

矢量長度Length（Vector）= |Vector|=sqr（x*x+y*y+z*z）

Normalize后：

（x/Length（Vector），y/Length（Vector），z/Length（Vector））

方向不變，長度為1個單位

三。點乘 點積 數量積（Dot Product）

是一回事兒。首先明確兩個矢量的點積是個標量.

中學物理的力做功就是矢量點積的例子：W=|F|.|S|.cos（theta）

二矢量點積：

Vector1：（x1，y1，z1） Vector2（x2，y2，z2）

DotProduct=x1*x2+y1*y2+z1*z2

很重要的應用：

1、求二矢量餘弦：

由我們最熟悉的力做功：

cos（theta）=F.S/（|F|.|S|）

可以判斷二矢量的方向情況： cos=1同向，cos=-1相反，cos=0直角

曲面消隱（Cull face）時判斷物體表面是否可見：（法線和視線矢量的方向問題）cos>0不可見，cos<0可見

OpenGL就是這麼做的。

2、Lambert定理求光照強度也用點積：

Light=K.I.cos（theta）

K，I為常數，theta是平面法線與入射光線夾角

老王頭的Fast Bump（Add Hyper Link here）也就是依據這個數學模型。但是他用了個很Cheap的Hack來模擬cosine

四、叉乘（Cross product）

叉乘：Vector1（x1，y1，z1），Vector2（x2，y2，z2）：

其結果是個矢量。

方向是Vector1，Vector2構成的平面法線。再使用右手定則

長度是Length（Vector1）*Length（Vector2）*sin（theta）

theta是Vector1 & Vector2的夾角.

所以，平行的矢量叉乘結果為0矢量（長為0，方向任意）

計算結果矢量：（ox，oy，oz）

ox = （y1 * z2） - （y2 * z1）

oy = （z1 * x2） - （z2 * x1）

oz = （x1 * y2） - （x2 * y1）

用途：計演演算法向量，這是生成3D圖形的很關鍵一步。