三垂線定理的逆定理

三垂線定理的逆定理

如果平面內一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直,那麼這條直線也垂直於這條斜線在平面內的射影。

基本介紹


證明
三垂線定理的逆定理
三垂線定理的逆定理
如圖,已知a⊥OP,a⊂α,PA⊥α於A。求證a⊥OA
幾何證明
∵PA⊥α,a⊂α
∴PA⊥a
∵PO⊥a∴a⊥面OPA
∴a⊥OA
向量證明
三垂線定理的逆定理
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三垂線定理的逆定理
三垂線定理的逆定理
設a的方向向量為 a,取, ,
三垂線定理的逆定理
三垂線定理的逆定理
∵PA⊥α,即 是α的法向量,且 a⊂α
三垂線定理的逆定理
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∴ ⊥ a,∴ · a=0
三垂線定理的逆定理
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三垂線定理的逆定理
∵ ⊥ a,∴ · a=0
三垂線定理的逆定理
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· a=( - )· a= · a- · a=0
∴AO⊥a
在a上另取一點Q,由三餘弦定理得cos∠POQ=cos∠POA*cos∠AOQ
∵PO是斜線
∴cos∠POA≠0
∵PO⊥a
∴cos∠POQ=0
∴cos∠AOQ=0
∴AO⊥a