矩形

矩形

至少有三個內角都是直角的四邊形是矩形，有一個內角是直角的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形。矩形是一種特殊的平行四邊形，正方形是特殊的矩形。矩形包括長方形和正方形。

目錄

1定義 2性質 3判定

4相關公式 5黃金矩形 6圖形學

定義

至少有三個內角都是直角的四邊形是矩形，矩形包含長方形和正方形。

矩形

性質

由於矩形是特殊的平行四邊形，故包含平行四邊形的性質；矩形又可分為長方形和正方形，故包含長方形和正方形的一些共有的性質。矩形的性質大致總結如下：

（1）矩形具有平行四邊形的所有性質：對邊平行且相等，對角相等，鄰角互補，對角線互相平分；

（2）矩形的四個角都是直角；

（3）矩形的對角線相等；

（4）長方形有2條對稱軸，正方形有4條；

（5）具有不穩定性（易變形）。

判定

矩形的常見判定方法如下：

（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

（2）對角線相等的平行四邊形是矩形。

（3）有三個角是直角的四邊形是矩形。

（4）定理：經過證明，在同一平面內，任意兩角是直角，任意一組對邊相等的四邊形是矩形。

（5）對角線相等且互相平分的四邊形是矩形。

相關公式

面積：S=ab(注:a為長，b為寬)

周長：C=2(a+b)(注:a為長，b為寬)

黃金矩形

寬與長的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形。

黃金矩形給我們一協調、勻稱的美感。世界各國許多著名的建築，為取得最佳的視覺效果，都採用了黃金矩形的設計。如希臘的巴特農神廟等。

圖形學

"矩形必須一組對邊與x軸平行，另一組對邊與y軸平行。不滿足此條件的幾何學矩形在計算機圖形學上視作一般四邊形。"

判定應用

例1：如下圖，已知ABCD的對角線AC和BD相交於點O，△AOB是等邊三角形，AB=4．求這個平行四邊形的面積。

分析：首先根據△AOB是等邊三角形及平行四邊形對角線互相平分的性質判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理計算邊長，從而得到面積。

例2：已知：如下圖，在ABCD中，M為BC中點，∠MAD=∠MDA.求證：四邊形ABCD是矩形。

分析：根據定義去證明一個角是直角，由△ABM≌DCM(SSS)即可實現。

證明：

因為平行四邊形ABCD

故：AB=CD,AB‖CD

故：∠B+∠D=180度

因為M是BC中點

故：BM=MC

因為∠MAD=∠MDA

故：MA=MD

故：△MAB≌△MDC（SSS）

故：∠B=∠D=90度

故：四邊形ABCD是矩形（有一個內角為90度的平行四邊形是矩形）

例3：已知：如下圖，ABCD的四個內角平分線相交於點E，F，G，H．求證：EG=FH。

分析：要證的EG，FH為四邊形EFGH的對角線，因此只需證明四邊形EFGH為矩形，可選用“三個角是直角的四邊形是矩形”來證明。

例4：已知：如下圖，在△ABC中，∠C= 90°，CD為中線，延長CD到點E，使得DE=CD，連結AE，BE，則四邊形ACBE為矩形。

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