矩形

矩形

至少有三個內角都是直角的四邊形是矩形,有一個內角是直角的平行四邊形是矩形,對角線相等的平行四邊形是矩形。矩形是一種特殊的平行四邊形,正方形是特殊的矩形。矩形包括長方形和正方形。

定義


至少有三個內角都是直角的四邊形是矩形,矩形包含長方形和正方形。
矩形
矩形

性質


由於矩形是特殊的平行四邊形,故包含平行四邊形的性質;矩形又可分為長方形和正方形,故包含長方形和正方形的一些共有的性質。矩形的性質大致總結如下:
(1)矩形具有平行四邊形的所有性質:對邊平行且相等,對角相等,鄰角互補,對角線互相平分;
(2)矩形的四個角都是直角;
(3)矩形的對角線相等;
(4)長方形有2條對稱軸,正方形有4條;
(5)具有不穩定性(易變形)。

判定


矩形的常見判定方法如下:
(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形;
(2)對角線相等的平行四邊形是矩形。
(3)有三個角是直角的四邊形是矩形。
(4)定理:經過證明,在同一平面內,任意兩角是直角,任意一組對邊相等的四邊形是矩形。
(5)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形。

相關公式


面積:S=ab(注:a為長,b為寬)
周長:C=2(a+b)(注:a為長,b為寬)

黃金矩形


寬與長的比是(約為0.618)的矩形叫做黃金矩形。
黃金矩形給我們一協調、勻稱的美感。世界各國許多著名的建築,為取得最佳的視覺效果,都採用了黃金矩形的設計。如希臘的巴特農神廟等。

圖形學


"矩形必須一組對邊與x軸平行,另一組對邊與y軸平行。不滿足此條件的幾何學矩形在計算機圖形學上視作一般四邊形。"

判定應用


例1:如下圖,已知ABCD的對角線AC和BD相交於點O,△AOB是等邊三角形,AB=4.求這個平行四邊形的面積。
分析:首先根據△AOB是等邊三角形及平行四邊形對角線互相平分的性質判定出ABCD是矩形,再利用勾股定理計算邊長,從而得到面積。
例2:已知:如下圖,在ABCD中,M為BC中點,∠MAD=∠MDA.求證:四邊形ABCD是矩形。
分析:根據定義去證明一個角是直角,由△ABM≌DCM(SSS)即可實現。
證明:
因為平行四邊形ABCD
故:AB=CD,AB‖CD
故:∠B+∠D=180度
因為M是BC中點
故:BM=MC
因為∠MAD=∠MDA
故:MA=MD
故:△MAB≌△MDC(SSS)
故:∠B=∠D=90度
故:四邊形ABCD是矩形(有一個內角為90度的平行四邊形是矩形)
例3:已知:如下圖,ABCD的四個內角平分線相交於點E,F,G,H.求證:EG=FH。
分析:要證的EG,FH為四邊形EFGH的對角線,因此只需證明四邊形EFGH為矩形,可選用“三個角是直角的四邊形是矩形”來證明。
例4:已知:如下圖,在△ABC中,∠C= 90°,CD為中線,延長CD到點E,使得DE=CD,連結AE,BE,則四邊形ACBE為矩形。