反數

正數和負數是現實世界中具有相反方向的量反映入人們的思想而產生的矛盾著的兩個概念。對於每一個正數a，有唯一的負數-a與它對應，反之，每一個負數-a也一定有一個正數a對應於它，這一對數互相對立著，又因一定條件而互相聯繫著。例如，在東西方向公路上行駛的汽車，規定向東的方向為正方向，那麼，要分清汽車向東行駛5公里和向西行駛5公里，就必須用+5(公里)和-5(公里)來表示，但如果只考慮汽車走了多少路程，就不論是行駛+5公里還是-5公里，走過的路程都是5公里，只需用一個正數5來表示，我們把+5與-5叫做互反數，而正數5叫做它們的絕對值。一般的，我們有：

定義1：相互對應的正數a與負數-a，我們稱它們是互為反數。數0的反數規定為它自身。

例如，-5是5的反數， 5是-5的反數。

從定義1中看到，正數a的反數就是在它前面放上符號“—”所表示的負數，對於負數-a與數0，我們也約定在它前面放上符號“—”來表示它的反數，這樣—來，如果字母a表示任一有理數(正數、負數或o)，-a都表示a的反數，而符號“—”又有了新的意義，它起著把一個數改成它的反數的作用，並且我們總有：

注意：如果a表示任意的有理數，-a不一定表示負數。當a是正數時，-a是負數；當a是負數時，-a是正數；當a是零時，-a也是零。例如，，，。

定義2 對任意非零有理數a，a與-a中正的那一個叫做a的絕對值。因此，正數的絕對值是這個正數本身，負數的絕對值是作為它的反數的那個正數，零的絕對值規定為零。

一個數a的絕對值，用符號來表示，例如：

如果a表示任意的有理數，那麼，

由定義2，互為反數的兩個數有相同的絕對值。