冪級數
冪級數
函數項級數的概念 定義1 函數列，則稱為函數項級數。定義2取，則成為常數項級數，若收斂，則稱為的收斂點；若發散，則稱為的發散點。
定義3 函數項級數的收斂點的集合稱為其收斂域，記為D。定義4 對於任意一點，有收斂，因而有一個確定的和，該和是關於 的函數，稱為 和函數，記為S（x）。
定義5 若用 表示 的前n項的和，則在收斂域上有記稱為的余項，且在收斂域上有。則在收斂域上有記稱為的余項，且在收斂域上有。
冪級數
義
設函列都在區域I上有定義，則表達式
稱為定義在I上的函數項級數。
定義2
取x0屬於I，則函數項級數則稱為常數項級數。
若該常數項級數收斂，則稱x0為的收斂點；
若該常數項級數發散，則稱x0為的發散點。
定義3
函數項級數的收斂點全體的集合稱為其收斂域，發散點全體的集合稱為其發散域。
定義4
對於任意一點x，級數所確定的和應該是x的函數，記作：
（x屬於I）.
s(x)稱為定義在I上的和函數。
定義5
若用表示函數項級數的前n項的和，
則在收斂域上有稱為余項。
冪級數的有關概念
定義6 具有下列形式的函數項級數
冪級數
特別地，在中令即上述形式化為
（2）稱為 的冪級數。
取為常數項級數，如收斂，其和為
取為常數項級數，如收斂，其和為
取為和函數項級數，總收斂，其和為
對冪級數主要討論兩個問題：
（1）冪級數的收斂域（2）將函數表示成冪級數。
冪級數的收斂域具有特別的結構
定理1：（i）如 在 收斂，則對於滿足 的一切，都絕對收斂；
（ii）如 在 發散，則對於滿足 的一切，發散。
證：（1）∵ 收斂
∴ （收斂數列必有界）
而 為幾何級數，當 即收
∴ 收 ∴ 原級數絕對收斂
（2）反證：如存在一點 使 收
則由（1）收，矛盾。
由證明可知冪級數的收斂域為數軸上的對稱區間，因此存在非負數R，使 收斂；發散，稱R為收斂半徑，（-R，R）為收斂區間。
冪級數的收斂域及其求法
定理2：如冪級數 係數滿足，
冪級數
（2）收斂區間為（－∞，+∞）；
（3）冪級數 僅在一點x=0處收斂。
注意：當時，的斂散性不能確定，要討論 的斂散性，從而求得收斂域。
例1：求下列冪級數的收斂域。
（1） （2） （3）
解：（1） ，故，
當 時，原級數為 為交錯級數，滿足
¬ ， ∴ 收斂；
當 時，原級數為 發散，
∴ 收斂域為
解（2）由於 ∴ 故收斂域為。
解（3）
令 ∴ 。
當 時，
原級數為
∴ 發散；
同理 時，級數也發散，
∴收斂域
冪級數的性質
定理
求冪級數的和函數：利用逐項求導，逐次積分及四則運算等於將其化為可求和的形式，即化到公式：
若對冪級數中的每一個x都有，則稱S(x)為冪級數的和函數。
