麥克勞林級數

1742年麥克勞林提出的概念

麥克勞林級數(Maclaurin series)是函數在x=0處的泰勒級數，它是牛頓(I.Newton)的學生麥克勞林(C.Maclaurin)於1742年給出的，用來證明局部極值的充分條件，他自己說明這是泰勒級數的特例，但後人卻加了麥克勞林級數這個名稱。

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1基本介紹 2條件及方法

基本介紹

對於一個給定的函數，如果能找到一個冪級數，使

成立，則稱f(x) 可展開成x的冪級數。但要將f(x)展開成x的一個冪級數，需解決兩個以下問題：

(1)如何確定式(1)中的係數 ?

(2)按所求得的係數，這個冪級數在它的收斂域內的和函數是否就是?

先解決問題(1)，不妨設式(1)成立。那麼。根據冪級數可以逐項求導的性質，依次求出式(1)中的各階導數：

把x=0代人式(1)及上述各式，得

於是

把它們代回式(1)，得

通常稱式(2)為的麥克勞林展開式或在處的冪級數展開式。式(2)中等號右端的級數稱為的麥克勞林級數或展開成x的冪級數。

至於問題(2)。只要證明其餘項滿足即可(證明略)。

下面考慮在什麼條件下，函數f(x)能展開成麥克勞林級數。

可見，按公式求得係數的冪級數在它的收斂域內的和函數就是。

條件及方法

定理1設函數的麥克勞林級數的收斂半徑，當時，如果函數在任一固定點x處的n階導數有界，則函數f(x)在收斂區間內能展開成麥克勞林級數。即

把函數展開成冪級數，有直接展開法和間接展開法。

直接展開法

利用麥克勞林級數公式將函數f(x)展開成x的冪級數的方法，稱為直接展開法。步驟可歸納為：

(1)求出f(x)的各階導數令得

(2)寫出f(x)的麥克勞林級數並求出收斂半徑R。

間接展開法

利用麥克勞林級數展開函數，需要求高階導數，比較麻煩，如果能利用已知函數的展開式，根據冪級數在收斂域內的性質，將所給的函數展開成冪級數，這種方法稱為間接展開法。

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