絕對形

擴大歐氏平面上的絕對形 設在擴大歐氏平面上引進齊次坐標(x0,x1,x2),(見射影幾何學),並假定x0,x1,x2是複數，這樣的歐氏平面叫做復歐氏平面。當比值x0:x1:x2都是實數時,(x0,x1,x2)代表實點，否則代表虛點。平面上任意圓和無窮遠線交於兩個無窮遠共軛虛點I1(0,1,i)，I2(0,1,-i)，稱為無窮遠圓點，容易看出，平面上一條二次曲線為圓（包括半徑等於零的點圓）的充要條件是它經過無窮遠圓點I1,I2。

一條經過I1或I2的非無窮遠直線的斜率依次是-i或i,這樣的直線叫做迷向直線，平面上一切迷向直線構成分別以I1與I2為中心的兩個平行線束。容易驗證:①在迷向直線上，任意兩點的距離是零（根據通常的歐氏平面距離公式）；②每一條迷向直線相對於任意其他（非無窮遠）直線都有相同的斜率。

已給平面上經過一個非無窮遠點P的兩條直線α，b，設它們的斜率依次是λ，μ,再設m1,m2為經過P的迷向直線，則交比

，

但若用θ表示由α到b的角，0≤θ≤π，則

。

由以上兩式容易推得

， (1)

這個公式叫做拉蓋爾公式，特殊地，α,b垂直的充要條件是(α,b；m1,m2)=-1，即α,b和迷向直線成調和組。

另一方面，不難驗證，平面上一個實射影變換為相似變換的一個充要條件是：它把點偶I1,I2變成自己。用解析方法表示，這就是令

(2)

保持不變：當這個相似變換令I1,I2分別保持不變時（這時變換方程中x1,x2的係數行列式有正值）,它是一個正常相似變換，即它不改變平面的定向；當它把I1,I2對調時(這時變換方程中x1,x2的係數行列式有負值),它是一個正常相似變換和一個（對直線）反射之積。相似變換的另一個特徵是：在它的作用下，任意兩點的距離是相對不變數，即經過它，任意兩點距離都乘上一個不等於零的常數。特殊地，如果上述距離是絕對不變數，相似變換就是全等交換，即正常或反常歐氏運動。

經過一個正常相似變換，式(1)左邊的θ不變，但相似變換是特殊射影變換，因而經過它，式(1)右邊的交比不變。式(1)表達了兩個不變數之間的關係。

全等變換的另一個基本不變數是距離。可以證明，兩點間的距離也可以通過這兩點和無窮遠圓點之間的射影關係表達。

式(2)則可以看作無窮遠圓點I1，I2的點坐標方程，以I1,I2為中心的線束偶的線坐標方程是,或者

。 (3)

這是一個退化的線素二次曲線。由於(2)和(3)等價，線素二次曲線(3)或點偶(2)都可以稱為擴大歐氏平面（或平面歐氏幾何）的絕對形。

擴大歐氏空間的絕對形 在擴大歐氏空間，一切球面都和無窮遠平面交於一條虛跡二次曲線

， (4)

稱為無窮遠圓，而經過с∞的一切二次曲面都是球面(包括半徑等於零的點球)。和с∞ 相交的非無窮遠直線叫做迷向直線，和с∞相切的非無窮遠平面叫做迷向平面。一切迷向平面以及無窮遠平面構成面素二次曲面

。 (5)

式(5)或с∞,就是擴大歐氏空間（或空間歐氏幾何）的絕對形。把絕對形變成自己的一切空間射影變換構成空間相似變換群。空間全等變換群或運動群是空間相似變換群的子群。

一個非無窮遠實平面和無窮遠圓的兩個交點就是該平面上的無窮遠圓點(該平面上的絕對形)。於是根據上節所說，空間的兩條直線間的角和兩點間的距離也都可以依次通過這兩條直線和兩點同它們同絕對形(4)或(5)之間的射影關係表達。

非歐空間的絕對形 兩種非歐幾何以及閔科夫斯基幾何都是射影幾何的子幾何，在其相應的空間里也都分別有其絕對形。

例如橢圓空間，雙曲空間和閔科夫斯基空間的絕對形依次是,和。通過這些絕對形，可以分別把其相應幾何中的度量性質賦予射影解釋。

到n維的推廣 一般地，在n維射影空間Pn里取一個二次超曲面，令不變的射影變換構成Pn里射影群的一個子群，這個子群以及屬於它的射影幾何的子幾何(見埃爾朗根綱領)都被完全確定;就叫做該子幾何的絕對形。理論上，任意圖形（屬於該子幾何）的性質都決定於該圖形和的射影關係。

進一步的推廣 設G 為作用於空間S 的一個變換群，為S里一個圖形，變換群G中令不變的一切變換構成G的一個子群G1，就是那個屬於G1的子幾何的絕對形，在該幾何中，圖形的性質都決定於的選擇。

參考書目

孫澤瀛著：《近世幾何學》，高等教育出版社，北京，1959。