戴維南定理

等效電壓源定律

戴維南定理(Thevenin's theorem):含獨立電源線性電阻單口網路N,就埠特性而言,可以等效為一個電壓源和電阻串聯的單口網路。電壓源的電壓等於單口網路在負載開路時的電壓uoc;電阻R0是單口網路內全部獨立電源為零值時所得單口網路N0的等效電阻。

簡介


戴維南(又譯為戴維寧定理)又稱等效電壓源定律,是由法國科學家L·C·戴維南於1883年提出的一個電學定理。由於早在1853年,亥姆霍茲也提出過本定理,所以又稱亥姆霍茲-戴維南定理。其內容是:一個含有獨立電壓源、獨立電流源及電阻的線性網路的兩端,就其外部型態而言,在電性上可以用一個獨立電壓源V和一個鬆弛二端網路的串聯電阻組合來等效。在單頻交流系統中,此定理不僅只適用於電阻,也適用於廣義的阻抗。戴維南定理在多電源多迴路的複雜直流電路分析中有重要應用。
戴維南定理
戴維南定理
含獨源,線阻線控源單網路(二端網路),壓源阻串聯單網路(二端網路)效,電壓源的電壓,就是此單口網路(二端網路)的開路電壓,這個串聯電阻就是從此單口網路(二端網路)兩端看進去,當網路內部所有獨立源均置零以後的等效電阻。
oc 稱為開路電壓。Ro稱為戴維南等效電阻。在電子電路中,當單口網路視為電源時,常稱此電阻為輸出電阻,常用Ro表示;當單口網路視為負載時,則稱之為輸入電阻,並常用Ri表示。電壓源uoc和電阻Ro的串聯單口網路,常稱為戴維南等效電路。
當單口網路的埠電壓和電流採用關聯參考方向時,其埠電壓電流關係方程可表為:U=R+uoc
戴維南定理和諾頓定理是最常用的電路簡化方法。由於戴維南定理和諾頓定理都是將有源二端網路等效為電源支路,所以統稱為等效電源定理或等效發電機定理。
當研究複雜電路中的某一條支路時,利用電工學中的支路電流法、節點電壓法等方法很不方便,此時用戴維
南定理來求解某一支路中的電流和電壓是很適合的。

證明


戴維南定理可以在單口外加電流源i,用疊加定理計算埠電壓表達式的方法證明如下。
在單口網路埠上外加電流源i,根據疊加定理,埠電壓可以分為兩部分組成。一部分由電流源單獨作用(單口內全部獨立電源置零)產生的電壓u’=Roi,另一部分是外加電流源置零(i=0),即單口網路開路時,由單口網路內部全部獨立電源共同作用產生的電壓u”=uoc。由此得到:
U=u’+u”=Roi + uoc

詳解


戴維南定理指出,等效二端網路的電動勢E等於二端網路開路時的電壓,它的串聯內阻抗等於網路內部各獨立源和電容電壓、電感電流都為零時,從這二端看向網路的阻抗Zi。設二端網路N中含有獨立電源和線性時不變二端元件(電阻器、電感器電容器),這些元件之間可以有耦合,即可以有受控源及互感耦合;網路N的兩端ɑ、b接有負載阻抗Z(s),但負載與網路N內部諸元件之間沒有耦合,U(s)=I(s)/Z(s)(圖1)。當網路 N中所有獨立電源都不工作(例如將獨立電壓源用短路代替,獨立電流源用開路代替),所有電容電壓和電感電流的初始值都為零的時候,可把這二端網路記作N0。這樣,負載阻抗Z(s)中的電流I(s)一般就可以按下式1計算(圖2)式中E(s)是圖1二端網路N的開路電壓,亦即Z(s)是無窮大時的電壓U(s);Zi(s)是二端網路N0呈現的阻抗;s是由單邊拉普拉斯變換引進的復變數。
和戴維南定理類似,有諾頓定理或亥姆霍茲-諾頓定理。按照這一定理,任何含源線性時不變二端網路均可等效為二端電流源,它的電流J等於在網路二端短路線中流過的電流,並聯內阻抗同樣等於看向網路的阻抗。這樣,圖1中的電流I(s)一般可按下式2計算(圖3)
式中J(s)是圖1二端網路N的短路電流,亦即Z(s)等於零時的電流I(s);Zi(s)及s的意義同前。
虛線方框中的二端網路,常分別稱作二端網路N的戴維南等效電路和諾頓等效電路。
在正弦交流穩態條件下,戴維南定理和諾頓定理可表述為:當二端網路N接復阻抗Z時,Z中的電流相量I一般可按以下式3計算式中E、J分別是N的開路電壓相量和短路電流相量;Zi是No呈現的復阻抗;No是獨立電源不工作時的二端網路N。
這個定理可推廣到含有線性時變元件的二端網路。

注意事項


(1)戴維南定理只對外電路等效,對內電路不等效。也就是說,不可應用該定理求出等效電源電動勢和內阻之後,又返回來求原電路(即有源二端網路內部電路)的電流和功率。
(2)應用戴維南定理進行分析和計算時,如果待求支路后的有源二端網路仍為複雜電路,可再次運用戴維南定理,直至成為簡單電路
(3)戴維南定理只適用於線性的有源二端網路。如果有源二端網路中含有非線性元件時,則不能應用戴維南定理求解。
(4)戴維南定理和諾頓定理的適當選取將會大大化簡電路。