整除

整除與除盡既有區別又有聯繫。除儘是指數a除以數b所得的商是整數或有限小數而餘數是零時，我們就說a能被b除盡（或說b能除盡a）。因此整除與除盡的區別是，整除只有當被除數、除數以及商都是整數，而餘數是零．除盡並不局限於整數範圍內，被除數、除數以及商可以是整數，也可以是有限小數，只要餘數是零就可以了。它們之間的聯繫就是整除是除盡的特殊情況。

①若，，且b和c互質，則。

②對任意非零整數a，。

③若，，則。

④如果a能被b整除，c是任意整數，那麼積ac也能被b整除。

⑤如果a同時被b與c整除，並且b與c互質，那麼a一定能被積bc整除，反過來也成立。

⑥對任意整數a，，存在唯一的數對q，r，使，其中，這個事實稱為帶余除法定理，是整除理論的基礎。

⑦若，，則稱c是a，b的公因數。若d是a，b的公因數，，且d可被a，b的任意公因數整除，則d是a，b的最大公因數。若a，b的最大公因數等於1，則稱a，b互素，也稱互質。累次利用帶余除法可以求出a，b的最大公因數，這種方法常稱為輾轉相除法。又稱歐幾里得演演算法。

（1）1與0的特性：

1是任何整數的約數，即對於任何整數a，總有.

0是任何非零整數的倍數，a為整數，則.

（2）能被2整除的數的特徵

若一個整數的末位是0、2、4、6或8，則這個數能被2整除。

（3）能被3整除的數的特徵

1，若一個整數的數字和能被3整除，則這個整數能被3整除。

2，由相同的數字組成的三位數、六位數、九位數……這些數字能被3整除。如111令3整除。

（4）能被4整除的數的特徵

若一個整數的末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除。

（5）能被5整除的數的特徵

若一個整數的末位是0或5，則這個數能被5整除。

（6）能被6整除的數的特徵

若一個整數能被2和3整除，則這個數能被6整除。

（7）能被7整除的數的特徵

1.若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。同能被17整除的數的特徵。

2.末三位以前的數與末三位以後的差（或反過來）。同能被11,13整除的數的特徵。

（8）能被8整除的數的特徵

若一個整數的末尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。

（9）能被9整除的數的特徵

若一個整數的數字和能被9整除，則這個整數能被9整除。

（10）能被10整除的數的特徵

若一個整數的末位是0，則這個數能被10整除。

（11）能被11整除的數的特徵

若一個整數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除，則這個數能被11整除。11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理！過程唯一不同的是：倍數不是2而是1！

（12）能被12整除的數的特徵

若一個整數能被3和4整除，則這個數能被12整除。

（13）能被13整除的數的特徵

若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，加上個位數的4倍，如果和是13的倍數，則原數能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相加、驗和」的過程，直到能清楚判斷為止。

（14）能被17整除的數的特徵

1、若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的5倍，如果差是17的倍數，則原數能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數，同能被7整除的特徵一樣。

2、若一個整數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除，則這個數能被17整除。

（15）能被19整除的數的特徵

1、若一個整數的個位數字截去，再從餘下的數中，加上個位數的2倍，如果和是19的倍數，則原數能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍數，就需要繼續使用能被13整除特徵的方法。

2、若一個整數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除，則這個數能被19整除。

（16）能被23整除的數的特徵

若一個整數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23(或29)整除，則這個數能被23整除。

我們可以這樣證明：首先，位數是3的倍數，所以他就含有因子3，把他這個數的位數稱為n；其次每位上的數字是一樣的，把每位上的數字稱為m，所以這個數字的數字和就是：。但n含有因子3，那麼它們的數字和就含有因子3，結論得證。

設整數x的個位數為a，判斷其是否能被n整除：令，則，要使x能被n整除，只要為自然數。