赫爾德不等式

設 ,若，則

若 ,則該不等式反向。

僅當{{}，{ }}中至少有一個為零數列或者，且,使得,

設

或

為實數或複數列，a叫做多重指標，令

滿足條件的p,q稱為共軛指數，是規定,

若，則

若 ,則不等號反向。

時，

,且

成立

設p、q為共軛指數，令

若

當

時，

,且

即 ,

…………………… ①

………… …………②

若 ,則不等號方向改變

時，僅當

,使得

和在E上幾乎處處成立時①式成立

時，僅當

，使得

a.e.(almost everywhere)於E，且

時，

②式成立

赫爾德不等式有許多證明，主要的想法是楊氏不等式。

如果，那麼f在μ-幾乎處處為零，且乘積fg在μ-幾乎處處為零，因此赫爾德不等式的左端為零。如果 也是這樣。因此，我們可以假設 且 。

如果 或 ，那麼不等式的右端為無窮大。因此，我們可以假設 和 位於內。

如果且，那麼幾乎處處有，不等式就可以從勒貝格積分的單調性推出。對於 和 ，情況也類似。因此，我們還可以假設 。

分別用f和g除 ，我們可以假設：

我們現在使用楊氏不等式：

對於所有非負的a和b，當且僅當時

等式成立。

因此：

兩邊積分，得：.

這便證明了赫爾德不等式。

在 和 的假設下，等式成立當且僅當幾乎處處有

。更一般地，如果 和 位於 內，那麼赫爾德不等式變為等式，當且僅當存在（即 且 ），使得：

幾乎處處

的情況對應於中的。 =的情況對應於中的。