拉普拉斯運算元
歐幾里德空間的二階微分運算元
在數學以及物理中，拉普拉斯運算元或是拉普拉斯算符（英語：Laplace operator, Laplacian）是一個微分運算元，通常寫成 Δ 或 ∇²；這是為了紀念皮埃爾-西蒙·拉普拉斯而命名的。拉普拉斯運算元有許多用途，此外也是橢圓型運算元中的一個重要例子。在物理中，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛定諤方程式中的動能項。在數學中，經拉普拉斯運算元運算為零的函數稱為調和函數；拉普拉斯運算元是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。
拉普拉斯運算元是維歐幾里德空間中的一個二階微分運算元，定義為梯度（）的散度（）。因此如果是二階可微的實函數，則f的拉普拉斯運算元定義為：
的拉普拉斯運算元也是笛卡兒坐標系xi中的所有非混合二階偏導數：
作為一個二階微分運算元，拉普拉斯運算元把函數映射到函數，對於。運算元，或更一般地，定義了一個運算元，對於任何開集。
函數的拉普拉斯運算元也是該函數的黑塞矩陣的跡
另外,滿足的函數f,稱為調和函數.
其中與代表平面上的笛卡兒坐標：
另外極坐標的表示法為：
三維空間
笛卡兒坐標系下的表示法
圓柱坐標系下的表示法
球坐標系下的表示法
在參數方程為（其中以及）的維球坐標系中，拉普拉斯運算元為：
其中是維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米運算元。
如果f和g是兩個函數，則它們的乘積的拉普拉斯運算元為：f是徑向函數f(r)且g是球諧函數，是一個特殊情況。這個情況在許多物理模型中有所出現。f(r)的梯度是一個徑向向量，而角函數的梯度與徑向向量相切.
球諧函數還是球坐標系中的拉普拉斯運算元的角部分的特徵函數.
拉普拉斯運算元可以用一定的方法推廣到非歐幾里德空間，這時它就有可能是橢圓型運算元，雙曲型運算元，或超雙曲型運算元。
在閔可夫斯基空間中，拉普拉斯運算元變為達朗貝爾運算元。
達朗貝爾運算元通常用來表達克萊因-高登方程以及四維波動方程。