穩定性理論
穩定性理論
微分方程的一個分支。研究當初始條件甚至微分方程右端函數發生變化時，解隨時間增長的變化情況。主要方法有特徵數法，微分與積分不等式，李雅普諾夫函數法等。是天體力學，自動控制等各種動力系統中的首要問題。
對穩定性的研究是自動控制理論中的一個基本問題。穩定性是一切自動控制系統必須滿足的一個性能指標，它是系統在受到擾動作用后的運動可返回到原平衡狀態的一種性能。關於運動穩定性理論的奠基性工作，是1892年俄國數學家和力學家 А.М.李雅普諾夫在論文《運動穩定性的一般問題》中完成的。
目錄
在經典控制理論中，主要限於研究線性定常系統的穩定性問題。判斷系統穩定性的主要方法有奈奎斯特穩定判據和根軌跡法。它們根據控制系統的開環特性來判斷閉環系統的穩定性。這些方法不僅適用於單變數系統，而且在經過推廣之後也可用於多變數系統。
對於非線性系統穩定性的判別，李雅普諾夫第二方法至今仍是主要的方法（見李雅普諾夫穩定性理論。李雅普諾夫方法還被應用於研究絕對穩定性和有限時間區間穩定性問題。對於大系統和多級複雜系統，通過引入向量李雅普諾夫函數，可以建立判斷穩定性的充分條件。在研究絕對穩定性問題方面，不同於李雅普諾夫方法的另一個重要方法是1960年V.M.波波夫建立的頻率域形式的判據。它的主要優點是可利用系統中線性部分的頻率響應的實驗結果。後來的研究表明，李雅普諾夫方法和波波夫方法在實質上是等價的。波波夫在研究絕對穩定性的基礎上，在1964年進一步提出超穩定的概念和理論（見波波夫超穩定性），並在1966年出版了《控制系統的超穩定性》的專著。超穩定性理論已在模型參考適應控制系統的分析和綜合中得到應用。