兩點間距離公式

下面不加證明地給出幾個公式。

設兩個點A、B以及坐標分別為、 ，則A和B兩點之間的距離為：

直線上兩點間的距離公式：

設直線l 的方程為，點，為該線上任意兩點，則

這一公式即所謂圓錐曲線的弦長公式。若記 為直線AB的傾斜角，則

同時，若已知直線公式和其中一個點，並且給定了距離，可以反求另一個點的坐標。

現在有一隻工程隊要鋪設一條網路，連接A，B兩城。他們首先要知道兩城之間的距離，才能準備材料。他們用全球定位系統將兩城的位置在平面直角坐標系中表示出來。現在我們就來試試看能不能幫他們求出A、B兩城之間的距離。

在黑板上畫出A，B兩點，如下圖：

那麼，我們怎麼求出AB之間的距離呢？

我們來試試看，能不能通過添加一些輔助線，來解答問題呢？

首先我們作點A關於X軸的垂線，設垂足為A’，再作B關於Y軸的垂線，設垂足為B’；延長AA’和BB’使之交與C點。

如下圖：

顯然角C等於90度，這樣我們就構造出了一個三角形ABC，而我們要求的AB就在這

個直角三角形上。因此我們是不是可以考慮看看用勾股定理來求出AB呢？

由勾股定理可以得知：

由A（-20,20）和B（20,-10），所以可知C（-20，-10）。現在我們可以將AB平移到Y軸上，設這兩個對應的點為，所以：

因此可知：

所以。

現在，我們已經求出了A、B兩城的距離。現在，我們來思考一個問題：是不是任意兩點，只要知道這兩點的坐標，就可以求出這兩點之間的距離呢？我們能不能找到一個公式來求兩點之間的距離呢？

不妨設。因此可以推出

設， ，則

在三維坐標中，首先計算兩點在平面坐標中（即x，y軸上）的距離，再計算兩點在z 軸上的垂直距離。再次用勾股定理，即證。

下面不加證明地給出該公式。設極坐標系中兩點， ，則