恆等式

恆等式

恆等式(identities),數學概念,恆等式是無論其變數如何取值,等式永遠成立的算式。恆等式成立的範圍是左右函數定義域的公共部分,兩個獨立的函數徠卻各自有定義域。與x,在非負實數集內是恆等的,而在實數集內是不恆等的。恆等式有多個變數的,也有一個變數的,若恆等式兩邊就一個變數,恆等式就是兩個 解析式之間的一種關係。它來源於e^ix=cosx+isinx(複數的三角表示),令x=π就得。

舉例說明


定義
恆等式符號“≡”。兩個解析式之間的一種關係。給定兩個解析式,如果對於它們的定義域(見函數)的公共部分(或公共部分的子集)的任一數或數組,都有相等的值,就稱這兩個解析式是恆等的。例如與 ,對於任一組實數(a,b),都有,所以與是恆等的。
兩個解析式恆等與否不能脫離指定的數集來談,因為同樣的兩個解析式,在一個數集內是恆等的,在另一個數集內可能是不恆等的。例如與,在非負實數集內是恆等的,而在實數集內是不恆等的。

兩者之間關係


與函數相等

“函數相等”與“恆等式”之間有什麼關係,由“恆等式”能得出“函數相等”嗎?
數學上,恆等式是無論其變數在給定的取值範圍內取何值,等式永遠成立的算式。
與相等,顯然是定義域上的恆等式;若是恆等式,那麼與相等嗎?看下面的例子。
1.若是恆等式,則與相等;
2.若是恆等式,則與相等。
顯然命題1和命題2都不是真命題。恆等式成立的範圍是左右函數定義域的公共部分,兩個獨立的函數卻各自有定義域。
在判定的奇偶性時,常有學生用的奇偶性替代,理由是
是恆等式,但是與不相等,方法錯誤。因為, 當且僅當 時,.所以當用代替的時候,定義域是被放大。導致錯誤。
由此可得如下命題:
1.若與有相同的定義域,對於定義域內的任一個x均有則與是相等函數,同時兩解析式必相同。
2.若與是相等函數,則兩個函數的解析式相同,於是其中的參數都能對應相等。

著名恆等式


,e是自然對數的底,π是圓周率,i是虛數單位。它來源於(複數的三角表示),令就得。
牛頓恆等式:
設的n個根對於k∈N,記.則有
當 (N1)
當 (N2)

乘法公式類


分配律
完全平方
平方差
和立方
徠差立方
立方和
立方差

函數類恆等式


對數恆等式
指數恆等式
三角恆等式
雙曲線函數恆等式
超幾何函數恆等式
組合恆等式

以人命名的


貝祖恆等式
歐拉恆等式
范德蒙恆等式
格林恆等式
婆羅摩笈多-斐波那契恆等式
李善蘭恆等式
歐拉四平方和恆等式
雅可比恆等式