梯度下降

梯度：對於可微的數量場，以為分量的向量場稱為f的梯度或斜量。

梯度下降法(gradient descent)是一個最優化演演算法，通常也稱為最速下降法。

常用於機器學習和人工智慧當中用來遞歸性地逼近最小偏差模型。

顧名思義，梯度下降法的計算過程就是沿梯度下降的方向求解極小值（也可以沿梯度上升方向求解極大值）。

其迭代公式為,其中 代表梯度負方向，表示梯度方向上的搜索步長。梯度方向我們可以通過對函數求導得到，步長的確定比較麻煩，太大了的話可能會發散，太小收斂速度又太慢。一般確定步長的方法是由線性搜索演演算法來確定，即把下一個點的坐標看做是ak+1的函數，然後求滿足f(ak+1)的最小值即可。

因為一般情況下，梯度向量為0的話說明是到了一個極值點，此時梯度的幅值也為0.而採用梯度下降演演算法進行最優化求解時，演演算法迭代的終止條件是梯度向量的幅值接近0即可，可以設置個非常小的常數閾值。

舉一個非常簡單的例子，如求函數 的最小值。

利用梯度下降的方法解題步驟如下：

1、求梯度，

2、向梯度相反的方向移動，如下

，其中為步長。如果步長足夠小，則可以保證每一次迭代都在減小，但可能導致收斂太慢，如果步長太大，則不能保證每一次迭代都減少，也不能保證收斂。

3、循環迭代步驟2，直到 的值變化到使得 在兩次迭代之間的差值足夠小，比如0.00000001，也就是說，直到兩次迭代計算出來的 基本沒有變化，則說明此時 已經達到局部最小值了。

4、此時，輸出這個 就是使得函數 最小時的 的取值。

MATLAB如下。

%% 最速下降法圖示% 設置步長為0.1，f_change為改變前後的y值變化，僅設置了一個退出條件。syms x;f=x^2;step=0.1;x=2;k=0; %設置步長，初始值，迭代記錄數f_change=x^2; %初始化差值f_current=x^2; %計算當前函數值ezplot(@(x,f)f-x.^2) %畫出函數圖像axis([-2,2,-0.2,3]) %固定坐標軸hold onwhile f_change>0.000000001 %設置條件，兩次計算的值之差小於某個數，跳出循環 x=x-step*2*x; %-2*x為梯度反方向，step為步長，！最速下降法！ f_change = f_current - x^2; %計算兩次函數值之差 f_current = x^2 ; %重新計算當前的函數值 plot(x,f_current,'ro','markersize',7) %標記當前的位置 drawnow;pause(0.2); k=k+1;endhold offfprintf('在迭代%d次后找到函數最小值為%e，對應的x值為%e\n',k,x^2,x)

梯度下降法處理一些複雜的非線性函數會出現問題，如Rosenbrock函數：,其最小值在 處，函數值為。但是此函數具有狹窄彎曲的山谷，最小點 就在這些山谷之中，並且谷底很平。優化過程是之字形的向極小值點靠近，速度非常緩慢。

● 靠近極小值時收斂速度減慢。

● 直線搜索時可能會產生一些問題。

● 可能會“之字形”地下降。