線性插值

線性插值

線性插值是指插值函數為一次多項式的插值方式,其在插值節點上的插值誤差為零。線性插值相比其他插值方式,如拋物線插值,具有簡單、方便的特點。線性插值的幾何意義即為概述圖中利用過A點和B點的直線來近似表示原函數。線性插值可以用來近似代替原函數,也可以用來計算得到查表過程中表中沒有的數值。

基礎知識


已知函數在區間上個互異點上的函數值,若存在一簡單函數,使
並要求誤差
的絕對值在整個區間上比較小。這樣的問題稱為插值問題。
其中
:插值節點
:插值函數
:插值函數
:插值區間
如果在插值區間內部用代替則稱為內插;在插值區間以外,用代替則稱為外插。

簡介


線性插值是一種較為簡單的插值方法,其插值函數為一次多項式。線性插值,在各插值節點上插值的誤差為0 。
如概述圖中所示,設置函數在兩點,上的值分別為,,求多項式
使滿足
由解析幾何可知
稱為在處的一階均差,記以。於是,得
如果按照,整理,則
以上插值多項式為一次多項式,這種插值稱為線性插值。

幾何意義


線性插值的幾何意義如右圖所示,即為利用過點和的直線來近似原函數。

應用


1)線性插值在一定允許誤差下,可以近似代替原來函數;
2)在查詢各種數值表時,可通過線性插值來得到表中沒有的數值。