鴿舍原理

鴿舍原理

鴿舍原理:也稱“抽屜原理”或利克雷原則,它是一個重要而又基本的數學原理,應用它可以解決各種有趣的問題,並且常常能夠得到令人驚奇的結果,許多看起來相當複雜,甚至無從下手的問題,利用它能很容易得到解決。

基本信息


:+元素類,管怎,則類元素。
:×抽屜,抽屜++
。
原理2-1:把m個元素任意放入n(n
其中 k= [m/n]([]表示向上取整)。
(抽屜原理的一般含義為:“如果每個抽屜代表一個集合,每一個蘋果就可以代表一個元素,假如有 n+1或多於n+1個元素放到n個集合中去,其中必定至少有一個集合里至少有兩個元素。” )

主要步驟


第一步:分析題意。分清什麼是“東西”,什麼是“抽屜”,也就是什麼作“東西”,什
么可作“抽屜”。
第二步:製造抽屜。這個是關鍵的一步,這一步就是如何設計抽屜。根據題目條件和結論,結合有關的數學知識,抓住最基本的數量關係,設計和確定解決問題所需的抽屜及其個數,為使用抽屜鋪平道路。
第三步:運用抽屜原理。觀察題設條件,結合第二步,恰當應用各個原則或綜合運用幾個原則,以求問題之解決。
例1、教室里有5名學生正在做作業,今天只有數學、英語、語文、地理四科作業
求證:這5名學生中,至少有兩個人在做同一科作業。
證明:將5名學生看作5個蘋果
將數學、英語、語文、地理作業各看成一個抽屜,共4個抽屜
由抽屜原理1,一定存在一個抽屜,在這個抽屜里至少有2個蘋果。
即至少有兩名學生在做同一科的作業。
例2、木箱里裝有紅色球3個、黃色球5個、藍色球7個,若蒙眼去摸,為保證取出的球中有兩個球的顏色相同,則最少要取出多少個球?
解:把3種顏色看作3個抽屜
若要符合題意,則小球的數目必須大於3
大於3的最小數字是4
故至少取出4個小球才能符合要求
答:最少要取出4個球。
例3、班上有50名學生,將書分給大家,至少要拿多少本,才能保證至少有一個學生能得到兩本或兩本以上的書。
解:把50名學生看作50個抽屜,把書看成蘋果
根據原理1,書的數目要比學生的人數多
即書至少需要50+1=51本
答:最少需要51本。
例4、在一條長100米的小路一旁植樹101棵,不管怎樣種,總有兩棵樹的距離不超過1米。
解:把這條小路分成每段1米長,共100段
每段看作是一個抽屜,共100個抽屜,把101棵樹看作是101個蘋果
於是101個蘋果放入100個抽屜中,至少有一個抽屜中有兩個蘋果
即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹
例5、 11名學生到老師家借書,老師是書房中有A、B、C、D四類書,每名學生最多可借兩本不同類的書,最少借一本
試證明:必有兩個學生所借的書的類型相同
證明:若學生只借一本書,則不同的類型有A、B、C、D四種
若學生借兩本不同類型的書,則不同的類型有AB、ACAD、BC、BD、CD六種
共有10種類型
把這10種類型看作10個“抽屜”
把11個學生看作11個“蘋果”
如果誰借哪種類型的書,就進入哪個抽屜
由抽屜原理,至少有兩個學生,他們所借的書的類型相同
例6、有50名運動員進行某個項目的單循環賽,如果沒有平局,也沒有全勝
試證明:一定有兩個運動員積分相同
證明:設每勝一局得一分
由於沒有平局,也沒有全勝,則得分情況只有1、2、3……49,只有49種可能
以這49種可能得分的情況為49個抽屜
現有50名運動員得分
則一定有兩名運動員得分相同
例7、體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球,某班50名同學來倉庫拿球,規定每個人至少拿1個球,至多拿2個球,問至少有幾名同學所拿的球種類是一致的?
解題關鍵:利用抽屜原理2。
解:根據規定,多有同學拿球的配組方式共有以下9種:
{足}{排}{藍}{足足}{排排}{藍藍}{足排}{足藍}{排藍}
以這9種配組方式製造9個抽屜
將這50個同學看作蘋果
由抽屜原理k=50%9,可得,至少有6人,他們所拿的球類是完全一致的
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