運算律

運算律既是重要的數學規律，也是數學運算所固有的性質。

1.根據運算的定義可以推導出運算律。

運算律是通過對一些等式的觀察、比較和分析而抽象、概括出來的運算規律。這個過程屬於由具體到抽象、由特殊到一般的歸納，體現了合情推理的基本特點。但從知識邏輯來說，運算律與相關運算的定義是相伴相生的。數學家在定義四則運算的同時即需考慮“能否由定義出發合乎邏輯地推導出相應的運算律”。

2.運算定義和運算律是探索相關計算方法的依據。

完成運算、得出結果的方法、程序或途徑，通常叫做運算方法或計算方法。把運算方法所要求的操作程序和要點用相對準確、規範且比較容易理解的文本語言表述出來，或者將當前運算歸結為學生早先已經掌握的相關運算，就是所謂的“運演演算法則”。

交換律是被普遍使用的一個數學名詞，指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質，而且許多的數學證明都需要依靠交換律。即給定集合S上的二元計算，如果對S中的任意a，b滿足a+b = b+a，則稱滿足交換律。

例如，在四則運算中，加法和乘法都滿足交換律。加法交換律是指兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變。即a+b=b+a。乘法交換律是指兩個數相乘，交換因數的位置，它們的積不變。即axb=bxa。另外，在集合運算中，集合的交、並、對稱差等運算都滿足交換律。

結合律是指給定一個集合S上的二元運算，如果對於S中的任意a，b，c。有加法結合律a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)或乘法結合率ax(bxc) = (axb)xc，則稱其運算滿足結合律。

例如，在常見的四則運算中，加法和乘法都滿足結合律。加法結合律是指三個數相加，先把前面兩個數相加，再加第三個數，或者先把後面兩個數相加，再和第一個數相加，它們的和不變。即表示為：(a+b)+c=a+(b+c)；乘法結合律是指三個數相乘，先把前面兩個數相乘，再乘第三個數，或者先把後面兩個數相乘，再和第一個數相乘，它們的積不變。即表示為：(axb)xc=ax(bxc)。另外，在集合運算中，集合的交、並運算都滿足結合律。

給定集合S上的兩個二元運算x和+，若對任意S中的a，b，c有cx(a+b) = (cxa)+(cxb) ，則稱運算x對運算+滿足左分配律。若對任意S中的a，b，c有(a+b)xc = (axc)+(bxc)，則稱運算x對運算+滿足右分配律。

例如，在常見的四則運算中，乘法對加法和減法都滿足分配律（即同時滿足左右分配律）。即兩個數的和與一個數相乘，可以把兩個加數分別與這個數相乘，再把兩個積相加。另外，在集合運算中，交運算對並運算滿足分配律；並運算對交運算滿足分配律；交運算對差運算滿足分配律；並運算對差運算滿足分配律。

加法交換律：a+b=b+a；

乘法交換律：a×b=b×a；

加法結合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)；

乘法結合律：(a×b)×c=a×(b×c)；

乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c；

左分配律：cx(a+b) = (cxa)+(cxb)；

右分配律：(a+b)xc = (axc)+(bxc)。

例1.根據加法交換律填空。

（ ）+165=165+35 ；48+29+52=48+（ ）+（ ）。

解：35；52；29。

例2.根據乘法分配律求解。

（40+8）×25 ；125×（8+80）；93×6+93×4；325×113－325×13。

解：（40+8）×25=40×25+8×25=1200；125×（8+80）=125×8+125×80=11000；

93×6+93×4=93×（6+4）=930；325×113－325×13=325×（113-13）=32500。

在小學數學里教學運算律，不僅具有顯性的知識與技能價值，而且具有隱性的過程與方法價值。從顯性的方面看，運算律是數與代數部分的重要知識，應用運算律進行簡便計算有助於學生不斷提高運算能力；從隱性的方面看，通過運算律的教學，有助於學生豐富和加深對運算本身的理解，感受抽象、推理、模型等基本數學思想，同時也能獲得一些對心智成長十分有益的感悟。

1.在探索運算律的過程中感受合情推理的價值。

對小學生而言，運算律是對一些相似運算現象進行觀察、比較、分析而抽象、概括出來的規律，是經由探索活動所得到重要發現。這個過程的本質，是由特殊到一般、由具體到抽象的歸納。所以，探索和發現運算律的過程有助於學生感受合情推理的價值，培養初步的合情推理能力。

2.在表徵運算律的過程中感受簡單的模型思想。

在學生藉助實例初步歸納出運算律的基本內容之後，接下來的重點就是引導他們用合適的方式把發現的規律表示出來。這個過程也被稱為“表徵運算律”。一般來說，運算律的表徵方式主要有三種，一是語言表徵，二是圖形表徵，三是符號表徵。其中，圖形表徵和符號表徵具有初步的數學建模的意味徠，經歷這個過程有助於學生初步感受模型思想，體會數學表達方式的特點和價值，提高學習數學、應用數學的興趣。

3.在應用運算律解釋計算方法的過程中加深對運算本身的理解。

運算定義和運算律是理解相關運算方法的前提和依據。但小學生受年齡特點、知識經驗和認知能力的限制，他們在探索相關計算方法時，並不能從運算定義和運算律出發合乎邏輯地進行推理，也意識不到運算律在計算方法探索過程中的作用。事實上，小學生在探索和理解計算方法時，會更多地藉助實際生活中的事理以及相關的生活經驗進行思考。

4.在應用運算律簡便計算的過程中感受化歸思想。

小學生探索和發現運算律，主要依靠合情推理，而在應用運算律進行簡便計算，就是進行演繹推理。同時，簡便計算的過程也體現了“等值變形”的化歸思想。即對於一道較為複雜的計算題，有效的計算策略是先應用運算律或其他運算性質、運算規律把它轉化為相對簡單和熟悉的題目，從而使計算途徑更加合理、簡潔。教學中，一方面要重視引導學生分析、思考每一步運算的依據，做到有根據、有條理地思考；另一方面也要適當引導學生體會化難為易、化繁為簡、化生疏為熟悉的策略價值，受到化歸思想的啟蒙。