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有界數列

有界數列

任一項的絕對值都小於等於某一正數的數列。有界數列是指數列中的每一項均不超過一個固定的區間,其中分上界和下界。假設存在定值a,任意n有An(n為下角標,下同)=B,稱數列An有下界B,如果同時存在A、B時的數列An的值在區間[A,B]內,數列有界。

定義


若數列{Xn}滿足:對一切n有Xn≤M其中M是與n無關的常數稱數列{Xn}上有界(有上界)並稱M是他的一個上界。
對一切n有Xn≥m其中m是與n無關的常數稱數列{Xn}下有界(有下界)並稱m是他的一個下界。
一個數列{Xn},若既有上界又有下界,則稱之為有界數列。顯然數列{Xn}有界的一個等價定義是:存在正實數X,使得數列的所有項都滿足|Xn|≤X,n=1,2,3,……

舉例


有界數列:
①1,2,3,4
②{1/n},n=1,2,3...
無界數列:
1,2,3,4,5,6...
sin1,sin2+2……

應用


數列有極限的必要條件:
數列單調增且有上界或數列單調減且有下界=>數列有極限。