面積積分

)，是小於1的某個正數,是由點e引圓周的兩條切線與上被兩切點所截的、離e較遠的圓弧所圍的區域。

積()積函數

映射的雅可比行列式，當為一一映射時，可知正好是區域在映射ƒ下的映像面積。面積積分的名字由此而來。

在某些點e處，可能是無限的。但是，盧津為了研究一類解析函數的性質，證明了當 ，即

時，對於單位圓周上幾乎所有的e，面積函數都是有限的，並且

， (2)

式中是ƒ的邊值函數；當時，還成立下面的相反不等式

， (3)

式中是常數，決定於。

後來，J.馬欽凱維奇和A.贊格蒙把上述定理又推廣到函數類，即滿足條件

的圓內解析函數全體。

面積積分的重要性，還在於它本質上可以局部地刻畫圓內解析函數ƒ 在邊界處非切向極限的存在性。確切地說，除了一零測度集外，圓內解析函數ƒ 在邊界處具有非切向極限的充分必要條件是。

這說明與ƒ的邊界性質有著十分深刻的內在聯繫，因此它是表達圓內解析函數邊界性質的一個重要工具。正是這一點，它在研究高維空間的h理論時，發揮了非常重要的作用。