閉域套定理

1.

閉區間：數軸上任意兩點a、b和這兩點間所有點組成的線段為一個閉區間，用[a,b]表示。與閉區間相對應的是開區間，開區間是不包含這兩點的兩點之間的線段所組成的區間，用(a,b)表示。

2.

閉區間套定理：有無窮個閉區間，第二個閉區間被包含在第一個區間內部，第三個被包含在第二個內部，以此類推（后一個線段會被包含在前一個線段裡面），這些區間的長度組成一個無窮數列，如果數列的極限趨近於0（即這些線段的長度最終會趨近於0），則這些區間的左端點最終會趨近於右端點，即左右端點收斂於數軸上唯一一點，而且這個點是此這些區間的唯一公共點。

閉區間套定理中的閉區間條件是必須的，否則結論不一定成立。

例如區間列In=(0,1/n)，n=1,2,3……，滿足定理中除了閉區間外的其他全部條件，但是所有區間的交集是空集。

但是，如果將上下界的單調性改為嚴格的，就有“開區間套”定理：

若In=(an,bn)，n為自然數，a1

則存在唯一一點c屬於所有區間In的交集。